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是

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1.

x \to 0

时, 若

e^{x} - \frac{1 + a x}{1 + b x + c x^{2}}

是比

x^{3}

高阶的无穷小量, 则

A.

a = \frac{1}{3}, b = - \frac{2}{3}, c = \frac{1}{6}

.

B.

a = \frac{1}{3}, b = - \frac{2}{3}, c = - \frac{1}{6}

.

C.

a = \frac{2}{3}, b = - \frac{1}{3}, c = - \frac{1}{6}

.

D.

a = \frac{4}{3}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}

.

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2. 设

f (x)

满足

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f (x) \sin 2 x} - 1}{e^{x^{2}} - 1} = 1

, 则

A.

f (0) = 0

B.

lim_{x \to 0} f (x) = 0

C.

f^{'} (0) = 1

D.

lim_{x \to 0} f^{'} (x) = 1

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3. 当

x \to x_{0}

时，

α (x), β (x)

都是无穷小, 则当

x \to x_{0}

时 ( ) 不一定是无穷小。

A.

| α (x) | + | β (x) |

B.

α^{2} (x) + β^{2} (x)

C.

\ln [1 + α (x) \cdot β (x)]

D.

\frac{α^{2} (x)}{β (x)}

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4. 极限

lim_{x \to a} {(\frac{\sin x}{\sin a})}^{\frac{1}{x - a}}

的值是

A.

1

B.

e

C.

e^{\cot a}

D.

e^{\tan a}

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5.

f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin x + e^{2 a x} - 1}{x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

a =

.

A.

1

B.

0

C.

e

D.

-1

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 已知

a

为常数,

lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} + 2}{x} - a x + 1) = 1

, 则

a =

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7. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + a) - \ln a}{x} (a > 0)

的值是

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 求极限

lim_{n \to \infty} (b^{\frac{1}{n}} - 1) \sum_{i = 0}^{n - 1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i + 1}{2 n}} (b > 1)

.

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9. 若

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{4} + 3} - [A + B (x - 1) + C (x - 1)^{2}]}{(x - 1) \sin (x - 1)} = 0

, 求常数

A, B, C

。

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10. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}

.

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