一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$.
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微, 且取极值
$\text{B.}$ 可微但不取极值
$\text{C.}$ 不可微,但取极值
$\text{D.}$ 不可微,也不取极值
若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y=1}} \frac{f(x, y)-2 x+4 y-1}{\sqrt{x^2+y^2-2 x-2 y+3}-1}=2$, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处不存在偏导数.
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处存在偏导数但不可微.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=-2 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y$.
二、填空题 （共 21 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x+y=\arctan (x-y)$ 所确定的隐函数, 求导数 $\frac{d y}{d x}$
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime}(x)=f(1-x), f(0)=1$ 则 $f(x)=$
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长为
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
差分方程 $y_{x+1}-3 y_x=2+x \cdot 3^x$ 的通解为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
已知函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ ?
函数 $z=x y+\ln y$ 在点 $(2,1)$ 处的梯度方向为?
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
一水平横放的圆柱形油桶, 设 $F_1$ 为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力, $F_2$ 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则 $\frac{F_1}{F_2}= $.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2-2 x=2 \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数, 则曲线 $y=y(x)$ 的拐点是
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\arctan \left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
设 $z=x y e^{x^2+y^2}$, 求 $z_{x y}^{\prime \prime}$ 。
求函数 $u=x^2+y^2-8 x+4 y$ 在 $D: x^2+y^2 \leq 9$ 上的最值。
设 $\mathrm{u}=x^2+x y^2+y^3$. 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=$
三、解答题 （ 共 44 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数二阶可导, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 有界,证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
求函数 $u=x^3+2 y^2-3 x-12 y$ 的极值。
设 $x=e^{u+v}, y=e^{u-v}$, 试将方程 $x^2 z_{x x}^{\prime \prime}+y^2 z_{y y}^{\prime \prime}+x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=0$ 从化为关于自变量 $u, v$ 的方程 (假设 $z=z(x, y)$ 有连续的二阶偏导数)。
已知 $z=f\left(x^2, x+y+z\right)$, 其中 $f$ 连续可偏导, 且 $\mathrm{e}^{y+z}=x^2+z$, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
设函数 $z=z(x, y)$ 的微分 $d z=(2 x+12 y) d x+(12 x+4 y) d y$ 且 $z(0,0)=0$, 求函数 $z=z(x, y)$ 在 $4 x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值
设 $z=z(x, y)$ 是方程 $z^3=1+3 x y$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
证明: 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, 有 $\frac{x^2+y^2}{4} \leqslant e^{x+y-2}$
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{t+1} \\ y=\frac{t}{(t+1)^2}\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 。