一、填空题 （共 40 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3, \\ y=\mathrm{e}^y \sin t+1\end{array}\right.$ 所确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应的点 处的曲率 $k=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $\Sigma$ 为 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0), l, m, n$ 为 $\Sigma$ 上任一点处的外法线的方向余弦, 则 $I=\iint_{\Sigma} z(l x+m y+n z) \mathrm{d} S=$
$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+2 y+y^2\right)$ 的极值为
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr}e^x, & x \geq 0, \\ 1+x^2, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 的全微分为
$$
\mathrm{d} z=\left(2 x y^3+a \mathrm{e}^y \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x\right) \mathrm{d} y,
$$
其中 $a$ 为常数, 则 $z(x, y)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处沿各个方向的方向导数的最大值为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} x^n$ 的收敛半径为
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
交换积分次序后 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
二次积分 $\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_x^4 \frac{1}{x \ln y} \mathrm{~d} y$ 的值为
$\int_0^\pi d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2 d \rho+\int_1^{\sqrt{2}} d x \int_0^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} d y=$
$\int_0^1 d y \int_y^1 x \sqrt{2 x y-y^2} d x=$
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left[\int_1^{\frac{1}{2 n}} e^{-y^2} d y+\int_1^{\frac{3}{2 n}} e^{-y^2} d y+\cdots+\int_1^{\frac{2n-1}{2 n}} e^{-y^2} d y\right]= $
设 $D$ 是由 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ 所确定的平面区域, 则
$$
\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d x d y=
$$
计算积分 $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \sin \theta}\left[\sin \theta+\cos \theta \sqrt{1+r^2 \sin ^2 \theta}\right] r^2 d r $
设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, 1)=0, f_y^{\prime}(x, 0)=\sin x, f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x$, 则 $f(x, y)=$
若 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{-x}$, 则 $\int_1^{+\infty} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x=$ ________ .
设 $D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\iint_D \max \{x, y\} \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^2-2, y \leqslant x \leqslant 1\right\}$, 则二重积分 $\iint_D x\left(2 \mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
若常数 $a>0$, 则二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq a^2} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
交换积分次序 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
换二次积分的积分次序:
$$
\int_{-1}^0 \mathrm{~d} y \int_2^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
交换积分次序:
$$
\int_0^{\frac{1}{4}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\frac{1}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-|x|(x \in[-1,1])$ ，起点是 $(-1,0)$ ，终点是 $(1,0)$ ，则曲线积分
$$
\int_L x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=
$$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2 \leq z \leq 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$
设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$ ，圆 $x^2+y^2=2 y$ 及 $y$ 轴围成，则二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^2 \mathrm{~d} S=$
二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) \mathrm{d} x=$
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} V=$
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
设 $D=\{(x, y)|| x \mid \leq y \leq 1,-1 \leq x \leq 1\}$ ，则
$$
\iint_D x^2 e^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x=$
设 $\mathrm{D}: \mathrm{y}=\mathrm{x}, \mathrm{y}=-\mathrm{x}, \mathrm{x}=2$ 直线所围平面区域.则 $\iint_D(y+2) d \sigma=$