一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设曲线积分 $\int_{L}\left[f(x)-e^{x}\right] \sin y d x-f(x) \cos y d y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$
$\text{D.}$ $1-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则累次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 {~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
设曲面 $x y z=a(a>0)$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在某点相切,则 $a=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{9}$.
设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^p n}$ 与积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cos x}(\sqrt{\sin x})^p}(p>0)$ 均收玫, 则
$\text{A.}$ $1 < p < 2$.
$\text{B.}$ $0 < p \leqslant 2$.
$\text{C.}$ $0 < p < 1$.
$\text{D.}$ $1 \leqslant p \leqslant 2$.
设 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x$ 是常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的两 个解, 则该方程的通解可为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2+C_3 x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3 x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x \mathrm{e}^x+C_3$.
设 $\Sigma$ 为直线 $L: \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 位于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分, 则几何体 $\Omega$ 的形心为
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0,0, \frac{9}{16}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(0,0, \frac{3}{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{4}, 0,0\right)$.
若二次曲面的方程 $x^2+3 y^2+z^2+2 a x y+2 x z+2 y z=2$ 经过正交变换化为 $y_1^2+4 y_2^2=2$, 则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
设有向曲线 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处的切向量为 $(1,2 x)$, 则将 曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 化为第一类曲线积分的结果为
$\text{A.}$ $\int_L(P+2 x Q) \mathrm{d} s$;
$\text{B.}$ $\int_L(2 x P+Q) \mathrm{d} s$;
$\text{C.}$ $\int_L \frac{P+2 x Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$;
$\text{D.}$ $\int_L \frac{2 x P+Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$.
若曲线积分 $\int_L x^2 y^2 \mathrm{~d} x+a x^3 y \mathrm{~d} y$ 的结果与路径无关, 则 $a=$.
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 2
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=2-\left(x^2+y^2\right)$ 在 $x o y$ 平面上方的部分, 则 $I=\iint_{\Sigma} z d S=\begin{array}{ll}\quad \end{array}$
$\text{A.}$ $\int_1^{2 \pi} d \theta \int_0^{2-r^2}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d \theta \int_1^2\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_{-1}^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
如图, 正方形 $\{(x, y)|| x|\leq 1| y \mid, \leq 1\}$ 被其对角线划分为四个 区域 $D_k(k=1,2,3,4), I_k=\iint_{D_k} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\max _{1 \leq k \leq 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成, 则 $\iint_D\left(x y^5-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\pi$.
$\text{B.}$ $2$.
$\text{C.}$ $-2$.
$\text{D.}$ $-\pi$.
设函数 $f(u)$ 连续, 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$.
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$.
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
设 $f(t)=\iint_{\Sigma_t}(x+t)^2 d y d z+(y+t)^2 d z d x+(z+t)^2 d x d y$, 其中积分曲面 $\Sigma_t: x^2+y^2+z^2=t^2, t>0$, 取外侧, 则 $f^{\prime}(t)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $8 \pi t^3$.
$\text{C.}$ $16 \pi t^3$.
$\text{D.}$ $32 \pi t^3$.
方程 $x^2+b y^2+c z^2=1(b, c$ 为非零常数 $)$ 所对应的曲面 不可能是
$\text{A.}$ 椭球面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 单叶双曲面
$\text{D.}$ 锥面
设 $D_k$ 是区域 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant \mathrm{e}\}$ 在第 $k$ 象限的部分, 记 $I_k=\iint_{D_k} \ln \frac{3+y}{3+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$,则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
设 $M=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1}(x+y)^3 \mathrm{~d} \sigma, N=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} \cos x^2 \sin y^2 \mathrm{~d} \sigma, P=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(\mathrm{e}^{-x^2-y^2}-1\right) \mathrm{d} \sigma$, 则必有
$\text{A.}$ $M>N>P$.
$\text{B.}$ $N>M>P$.
$\text{C.}$ $M>P>N$.
$\text{D.}$ $N>P>M$.
设 $L_1, L_2, L_3$ 依次表示三条曲线 $y=\mathrm{e}^x-1, y=x, y=\ln (1+x)$ 介于区间 $[0,1]$ 上的曲弧段, $I_i=\int_{L_i} y^2 \mathrm{~d} s$, 则三者的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
曲面 $x^2-4 y^2+2 z^2=6$ 上点 $(2,2,3)$ 处的法线方程为
$\text{A.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
设 $D$ 是矩形域: $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4},-1 \leqslant y \leqslant 1$,则 $\iint_D x \cos (2 x y) d \sigma=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设 $L$ 是以 $A(-1,0), B(-3,2)$ 及 $C(3,0)$ 为顶点的三角形域的围界沿 $A B C A$ 方向, 则 $\oint_L(3 x-y) d x+(x-2 y) d y=$.
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 20
设点 $O, A, B$ 的坐标分别为 $(0,0),(1,0),(0,1)$, 点 $C$ 为区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1, y>0\}$ 内一点, 则下列区域中, 四边形 $A O B C$ 的形心不可能在其中出现的是
$\text{A.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{B.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 1 < y < 2\right\}$.
$\text{C.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{D.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2}{3} < x < 1\right.,0 < y < 1\right\}$.
椭圆抛物面 $z=x^2+\frac{1}{4} y^2+3$ 到平面 $2 x-y+z=0$ 最近的点是?
$\text{A.}$ $(-1,2,5)$
$\text{B.}$ $(1,2,5)$
$\text{C.}$ $(1,-2,5)$
$\text{D.}$ $(-1,2,-5)$
函数 $z=x e^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 的方向导数是?
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线, 该曲线 (对应于 $0 \leqslant x \leqslant p$ 的部分) 与切线及 $y$ 轨所闹成平面图形的面积为 $S_1$, 与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $S_2$, 则 $\lim _{p-0} \frac{S_2}{S_1+S_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ 1
设 $\vec{T}^{\circ}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是简单封闭曲线 $L$ 上点 $(x, y)$ 处指向逆时钟方向的单位切向量，则该点处指向曲线外侧的单位法向量 $\vec{n}^{\circ}=$
$\text{A.}$ $(-\cos \alpha,-\cos \beta)$
$\text{B.}$ $(\cos \beta, \cos \alpha)$
$\text{C.}$ $(\cos \beta,-\cos \alpha)$
$\text{D.}$ $(-\cos \beta, \cos \alpha)$
向量场 $\vec{u}(x, y, z)=x y^2 \vec{i}+y e^z \vec{j}+x \vec{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的旋度为
$\text{A.}$ $(1,1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,-1,-2)$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
已知向量场 $\mathrm{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))$ ，如题图所示， $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ ，且取逆时针方向，则曲线积分
$\oint_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y>0$ 所对应的向量场是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
下列正向闭曲线中, 使曲线积分 $\oint_I \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=0$ 的曲线是
$\text{A.}$ $L: x^2+y^2=1$
$\text{B.}$ $L: x^2+x y+y^2=1$
$\text{C.}$ $L:(x-1)^2+(y-1)^2=1$
$\text{D.}$ $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a) \\
S_3 & =\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
& S_1=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), \\
& S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0$, $y=x^2, x=1$ 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于
$\text{A.}$ $x y$
$\text{B.}$ $2 x y$
$\text{C.}$ $x y+\frac{1}{8}$
$\text{D.}$ $x y+1$
设 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(z \geq 0), S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有
$\text{A.}$ $\iint_S x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_S y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_S z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_S x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x y z \mathrm{~d} S$
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成，则 $\iint_D\left(x^5 y-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -$\pi$
设 $L_1: x^2+y^2=1 ， L_2: x^2+y^2=2$ ， $L_3: x^2+2 y^2=2, L_4: 2 x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记
$$
I_i=\oint_{L_i}\left(y+\frac{y^3}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^3}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4) ，
$$
则 $\max \left\{I_1, I_2, I_3, I_4\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$
$\text{B.}$ $I_2$
$\text{C.}$ $I_3$
$\text{D.}$ $I_4$
$\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^2}(1-x y) \mathrm{d} y+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{2-x^2}(1-x y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{6}$