解答3试卷具体名称-数学组卷-自助组卷

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解答3试卷具体名称

数学

一、解答题（共 30 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

a_{n} = {(1 - \frac{2 \ln (\ln n)}{n})}^{n}

, 判断级数

\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n}

的敛散性.

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2. (I) 求

y = x \sin x

在

[0, n π]

(

n

为正整数)上与

x

轴所围的面积

A_{n}

;
(II) 在(I)的基础上, 求幕级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{A_{n}}{2^{n}} x^{n}

的收敛域及和函数.

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3. 设正数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{n} + a_{n + 1}, (n = 1, 2, 3, \dots) .

计算极限

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \ln n

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4. 按照

p

的范围来说明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{n^{p}} - \ln (1 + \frac{1}{n^{p}})], (p > 0)

的收敛性.

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5. 讨论级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} (- 1)^{n} (1 - x) \cdot x^{n} d x

的收敛性并计算其和.

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6. 设函数

f_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} x - \arctan x

, 其中

n

为正整数. 证明:
(I) 方程

f_{n} (x) = 0

存在唯一正实根

x_{n}

;
(II) 当

p > 2

时,级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x_{n}^{p}}

收敛.

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7. 请将函数

y = x \ln (1 + x)

展开成

x

的幂级数

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8. 求幂级数

\sum_{n = 2} \frac{n}{n^{2} - 1} x^{n}

的收敛域及和函数.

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9. 已知正切函数的泰勒展开式为:

\tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + o (x^{5})

计算

I = lim_{x \to 0} \frac{{[\tan (x + \frac{π}{4})]}^{\frac{1}{x}} - e^{2} (1 + \frac{4}{3} x^{2})}{x^{4}}

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10. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

在

(- \infty, + \infty)

内收敛, 其和函数

y (x)

满足

x y^{''} + (1 + x) y^{'} + 2 y = 0

y (0) = - 1, y^{'} (0) = 2

.
( I ) 证明:

a_{n + 1} = - \frac{(n + 2)}{(n + 1)^{2}} a_{n}, n = 0, 1, \dots

;
(II) 求

y (x)

的表达式.

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11. 设数列

{a_{n}}

满足

a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n + 1} = 2 a_{n - 1} - a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots), S (x)

是幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n}

的和函数. 求

S (x)

与

a_{n}

的表达式.

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12. 设

0 < p ⩽ 1, x_{1} > 0, a > 0, b > 0, x_{n + 1} = a + \frac{b}{x_{n}^{p}}, n \in N

.证明数列

{x_{n}}

收敛.

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13. 证明

\sqrt{7}, \sqrt{7 - \sqrt{7}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7}}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7 - \sqrt{7}}}}

收敛并求其值

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14. (上海交通大学 1991 年竞赛题) 设

x_{1} = 1, x_{2} = 2

, 且

x_{n + 2} = \sqrt{x_{n + 1} \cdot x_{n}} (n = 1, 2, \dots)

求

lim_{n \to \infty} x_{n}

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15. (I) 求

y = x \sin x

在

[0, n π]

(

n

为正整数)上与

x

轴所围的面积

A_{n}

;
(II) 在(I)的基础上, 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{A_{n}}{2^{n}} x^{n}

的收敛域及和函数.

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16. 设

x > 0

，试讨论级数

1 - \frac{1}{2^{x}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4^{x}} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6^{x}} + \dots

的敛散性.

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17. 设

f (x) = \frac{x - 1}{4 - x}

，求函数

f (x)

关于

x - 1

的幂级数展开式，并求

f^{(n)} (1)

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18. (1) 将函数

f (x) = x \cos x^{2}

展开成麦克劳林级数；
(2) 求数值级数

\frac{1}{2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2!} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4!} - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{6!} + \dots

的和.

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19. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 4^{n}}

的收敛域与和函数.

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20. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n + 1}}{n (2 n + 1)}

的收敛域与和函数.

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21. 求幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n!} x^{n}

的收敛域与和函数，并求级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{2^{n} \cdot n!}

的和.

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22. 设幂级数

y (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} x^{k} (- \infty < x < + \infty)

满足微分方程初值问题:

{\begin{cases} y^{''} + 2 x y^{'} + 2 y = 0 \\ y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 \end{cases}

(1) 证明:

a_{k + 2} = - \frac{2}{k + 2} a_{k}, k = 0, 1, 2, \dots

;
(2)求

y (x)

的表达式.

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23. 设

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & - 1 \leq x \leq 0, \\ x - 1, 0 < x \leq 1, \end{cases}

a_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \cos n π x d x, n = 0, 1, 2, \dots .

求函数

f (x)

对应的以周期为 2 的傅里叶级数在

[- 1, 1]

上的和函数并求

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

和

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

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24. 设

S (x)

为幂级数

x + \frac{x^{3}}{1 \cdot 3} + \frac{x^{5}}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!!} + \dots

的和函数.
(1) 求

S (x)

的定义域;
(2) 证明

S (x)

满足微分方程初值问题

S^{'} (x) - x S (x) = 1, S (0) = 0 ；

(3) 写出

S (x)

的积分表达式.

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25. 求级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n^{2} - 1) 2^{n}}

的和。

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26. 设

f (x) = \sin (a x), x \in [- π, π)

（

a

不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数

S (x)

。

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27. 设可微函数

f (x)

是方程

(x - 2 y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0

的解, 且

f (1) = 1

。
（1）求

f (x)

的表达式;
（2）讨论级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(f (n^{3}))}^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}

收敛性。

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28. 判断正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n} (n + 1)}{n!}

的敛散性。

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29. 试将函数

f (x) = \frac{1}{1 + x}

(1) 展开成 x 的幂级数
(2) 展开成

x - 1

的幂级数.

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30. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

的收敛域及和函数.

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