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定积分

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x

, 则有

A.

N < P < M

.

B.

M < P < N

.

C.

N < M < P

.

D.

P < M < N

.

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2. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} d x

B.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

C.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x (\ln x)^{2}}

D.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

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3. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，则

d [\int f (x) d x]

等于

A.

f (x)

B.

f (x) d x

C.

f (x) + C

D.

f^{'} (x) d x

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4. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2} & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & 1 < x \leq 2 \end{array}

，记

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t, 0 \leq x \leq 2

, 则

A.

F (x) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x \leq 2 \end{array}

B.

F (x) = {\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ - \frac{7}{6} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{array}

C.

F (x) = {\begin{array}{cr} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{array}

D.

F (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{3}}{3}, 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{matrix}

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5. 设

f (x)

连续，

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} f (t^{2}) d t

，则

F^{'} (x)

等于

A.

f (x^{4})

B.

x^{2} f (x^{4})

C.

2 x f (x^{4})

D.

2 x f (x^{2})

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6. 已知

f (x) = {\begin{cases} x^{2} & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

，设

F (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t (0 \leq x \leq 2) ，

则

f (x)

为

A.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

B.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

C.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3}, 0 \leq x < 1 \\ x - 1, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

D.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} & 0 \leq x < 1 \\ x - 1 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

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7. 设

f (x)

为连续函数，且

F (x) = \int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f (t) d t

，则

F^{'} (x)

等于

A.

\frac{1}{x} f (\ln x) + \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

B.

f (\ln x) + f (\frac{1}{x})

C.

\frac{1}{x} f (\ln x) - \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

D.

f (\ln x) - f (\frac{1}{x})

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8. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x

，

\begin{aligned} N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x \end{aligned}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < N

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9. 曲线

y = x (x - 1) (2 - x)

与

x

轴所围图形的面积可表示为

A.

- \int_{0}^{2} x (x - 1) (2 - x) d x

B.

\int_{0}^{1} x (x - 1) (2 - x) d x - \int_{1}^{2} x (x - 1) (2 - x) d x

C.

- \int_{0}^{1} x (x - 1) (2 - x) d x + \int_{1}^{2} x (x - 1) (2 - x) d x

D.

\int_{0}^{2} x (x - 1) (2 - x) d x

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10. 下列广义积分发散的是

A.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sin x} d x

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

D.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln^{2} x} d x

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11. 累次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{y - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

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12. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

，则

F (x)

A.

为正常数

B.

为负常数

C.

恒为零

D.

不为常数

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13. 设

f (x), φ (x)

在点

x = 0

的某邻域内连续，且当

x \to 0

时，

f (x)

是

φ (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} f (t) \sin t d t

是

\int_{0}^{x} t φ (t) d t

的

A.

低阶无穷小

B.

高阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

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14. 设

f (x)

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t =

A.

x f (x^{2})

B.

- x f (x^{2})

C.

2 x f (x^{2})

D.

- x f (x^{2})

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15. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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16. 设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{x} d x, I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{\tan x} d x

，则

A.

I_{1} > I_{2} > 1

B.

1 > I_{1} > I_{2}

C.

I_{2} > I_{1} > 1

D.

1 > I_{2} > I_{1}

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17. 设

f (x)

为连续函数，

F (t) = \int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f (x) d x

，则

F^{'} (2)

等于

A.

2 f (2)

B.

f (2)

C.

- f (2)

D.

0

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18. 把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} \cos t^{2} d t, β = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t, γ = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t ，

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A.

α, β, γ

B.

α, γ, β

C.

β, α, γ

D.

β, γ, α

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19. 下列结论正确的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

与

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

都收敛

B.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

与

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

都发散

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

发散，

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

收敛

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

收敛，

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

发散

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20. 设

I_{1} = \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ ， I_{2} = \iint_{D} \cos (x^{2} + y^{2}) d σ

，

I_{3} = \iint_{D} \cos {(x^{2} + y^{2})}^{2} d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

，则

A.

I_{3} > I_{2} > I_{1}

.

B.

I_{1} > I_{2} > I_{3}

.

C.

I_{2} > I_{1} > I_{3}

D.

I_{3} > I_{1} > I_{2}

.

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21. 设

f (x)

是奇函数，除

x = 0

外处处连续，

x = 0

是其第一类间断点，则

\int_{0}^{x} f (t) d t

是

A.

连续的奇函数

B.

连续的偶函数

C.

在

x = 0

间断的奇函数

D.

在

x = 0

间断的偶函数

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22. 设

f (x, y)

为连续函数，则

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{1} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

等于

A.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{x}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{y}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

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23. 设函数

f (x)

与

g (x)

在

[0, 1]

上连续，且

f (x) \leq g (x)

，则对任何

c \in (0, 1)

，有

A.

\int_{\frac{1}{2}}^{c} f (t) d t \geq \int_{\frac{1}{2}}^{c} g (t) d t

B.

\int_{\frac{1}{2}}^{c} f (t) d t \leq \int_{\frac{1}{2}}^{c} g (t) d t

C.

\int_{c}^{1} f (t) d t \geq \int_{c}^{1} g (t) d t

D.

\int_{c}^{1} f (t) d t \leq \int_{c}^{1} g (t) d t

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24. 连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2] ， [2, 3]

上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0] ， [0, 2]

的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是

A.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

B.

F (3) = \frac{5}{4} F (2)

C.

F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)

D.

F (- 3) = - \frac{5}{4} F (- 2)

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25. 设曲线

L : f (x, y) = 1 (f (x, y)

具有一阶连续偏导数)，过第 2 象限内的点

M

和第 4 象限内的点

N, Γ

为

L

上从点

M

到点

N

的一段弧，则下列积分小于零的是

A.

\int_{Γ} f (x, y) d x

B.

\int_{Γ} f (x, y) d y

C.

\int_{Γ} f (x, y) d s

D.

\int_{Γ} f_{x}^{'} (x, y) d x + f_{y}^{'} (x, y) d y

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26. 如图，曲线方程为

y = f (x)

，函数

f (x)

在区间

[0, a]

上有连续导数，则定积分

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x

在几何上表示

A.

曲边梯形

A B O D

的面积

B.

梯形

A B O D

的面积

C.

曲边三角形

A C D

面积

D.

三角形

A C D

面积

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27. 如图所示，正方形

{(x, y) ∥ x | \leq 1 | y ∣, \leq 1}

被其对角线划分为四个区域

D_{k} (k = 1, 2, 3, 4) ， I_{k} = \iint_{D_{k}} y \cos x d x d y

，则

max_{1 \leq k \leq 4} {I_{k}} =

A.

I_{1}

B.

I_{2}

C.

I_{3}

D.

I_{4}

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28. 设函数

y = f (x)

在区间

[- 1, 3]

上的图形如下图所示，则函数

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

的图形为

A.

B.

C.

D.

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29. 使不等式

\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} d t > \ln x

成立的

x

的范围是

A.

(0, 1)

B.

(1, \frac{π}{2})

C.

(\frac{π}{2}, π)

D.

(π, + \infty)

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30. 设

m, n

为正整数，则反常积分

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln^{2} (1 - x)}}{\sqrt[n]{x}} d x

的收敛性

A.

仅与

m

取值有关

B.

仅与

n

取值有关

C.

与

m, n

取值都有关

D.

与

m, n

取值都无关

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31. 设

m, n

为正整数，则反常积分

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln^{2} (1 - x)}}{\sqrt[n]{x}} d x

的收敛性

A.

仅与

m

取值有关

B.

仅与

n

取值有关

C.

与

m, n

取值都有关

D.

与

m, n

取值都无关

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32. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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33. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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34. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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35. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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36. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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37. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{(x - 1)^{α - 1}}, 1 < x < e \\ \frac{1}{x \ln^{α + 1} x}, x \geq e \end{cases}

, 若反常积分

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

收敛，则

A.

α < - 2

B.

α > 2

C.

- 2 < α < 0

D.

0 < α < 2

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38. 若函数

\int_{- π}^{π} {(x - a_{1} \cos x - b_{1} \sin x)}^{2} d x

= min_{a, b \in R} {\int_{- π}^{π} (x - a \cos x - b \sin x)^{2} d x},

则

a_{1} \cos x + b_{1} \sin x =

A.

2 \sin x

B.

2 \cos x

C.

2 π \sin x

D.

2 π \cos x

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39. 若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{a} (1 + x)^{b}} d x

收敛，则

A.

a < 1

且

b > 1

B.

a > 1

且

b > 1

C.

a < 1

且

a + b > 1

D.

a > 1

且

a + b > 1

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40. 反常积分(1)

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

, (2)

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

的敛散性为

A.

(1)收敛(2)收敛

B.

(1)收敛(2)发散

C.

(1)收敛(2)收敛

D.

(1)发散(2)发散

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