单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t}{x^6}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $1$
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
设 $y=f(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=-e^{\sin x}$ 的一个解, 若 $f\left(x_0\right)>0, f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{C.}$ 某邻域内单调减少.
$\text{D.}$ 取得极小值
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_n\right)$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 无法判断
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $x_0$ 是否是极值点无法判断.
函数 $y=3 x^3-x$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值是:
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 没有
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $-2 / 9$
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
“函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导” 是 “函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续” 的
$\text{A.}$ 充分且必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明（1）存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
（2）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}
$$
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\mathrm{d} y$ 和 $y^{\prime \prime}(x)$.