一、单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
1. 下列直线中不是曲线 的渐近线的是
.
.
.
.
2. 设曲线 由 确定, 则该曲线的渐近线的条数为
0
1
2
3
3. 设曲线 , 则
在 点取得最小曲率半径 .
在 点取得最大曲率半径 .
在 点取得最小曲率半径 .
在 点取得最大曲率半径 .
4. 已知 , 则在区间 内 .
单调增加, 且为凹弧
单调减少, 且为凹弧
单调减少, 且为凸弧
单调增加, 且为凸弧
5. 函数 在
内处处是凸的
内处处是凹的
内为凸的, 内为凹的
内为凹的, 内为凸的
二、填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
6. 设函数 在 的某一邻域内可微, 且满足
其中 是当 时 的高阶无穷小, 则曲线 在点 处的切线方程为
7. 设连续函数 满足 , 且 , 则 的极大值点和极大值分别为
9. 设曲线 与曲线 在 处相切,则
10. 设函数 在 内有二阶连续导数, 证明: 的充要条件是: 对不同实数 , .
11. 曲线 的渐近线条数为
12. 曲线 的拐点坐标为 ________ .
三、解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
13. 已知函数 , 请列表给出: 函数 的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数 的所有渐近线.
14. 证明: 若函数 在闭区间 上连续, 则在开区间 内至少存在一点 , 使 .
15. 设 , 试确定 的范围使得曲线 与直线 必相交 (要求说明理由)。
16. 讨论方程 在 与 内根的个数.
17. 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 且 . 证明: 存在两两互异的点 , 使得 .
18. 设 二阶可导, .
(I) 证明: 存在 , 使得 ;
(II) 证明: 存在 , 使得 .
19. 设 在 上有连续的导数且 . 求证:
并求使上式成为等式的 .
20. 设 在 上可导且 , . 证明:
(1) 在 上至少有两个零点;
(2) 在 内至少存在一点 , 使得 .
21. 设 , 且.
为有理数为无理数
讨论 的可微性.
22. 证明含参变量积分
在 上一致收敛,并问其在 上是否一致收敛.
23. 设 在 上可导, 且满足 , 证明: 存在 , 使得 .
24. 设 在 上连续, 在 内连续可导, 且满足 , 证明：
( I ) 存在 , 使得 ;
(II) 存在 , 使得 .
25. 证明 在 上不一致收敛，但在 上连续
26. 设 二阶可导, , 且 , 证明 : 存在 , 使得
27. 假设 是 上的连续函数，满足 。证明对任意正整数 ，存在 使得 。
28. 假设 ， 并且 。证明存在 , 使得 。
29. 假设存在常数 使得对任意非负整数 都有 。证明，对任意 ， 有无穷 Taylor 级数
30. 设 是区间 上的可导函数, 且满足: , 试证:
(1) 至少存在一点 , 使得 ;
（2）至少存在一点 , 使得 。
31. 设 在 上二阶可导，且 ,
证明:
(1) 在区间 内 ,
(2) , 使
32. 设函数 是满足初值问题 的特解, 试证明 是 的极小值点.
33. 已知 在 内可微, 且 , 若平面向量函数
是二元函数 的梯度.
(I) 求函数 及 ;
( II ) 证明: , 其中 是任意一条不通过 的奇点 (使 的点) 的正向闭路径.
34. 设 为定义在 上的实函数, 存在 , 使得对任何的 成立 , 若对任何固定的 , 成立 ,
证明: 在 处可导, 且导数为 0 .
35. 设 在 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 , 都有 .
36. 设 是区间 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 , 使得:
37. 试确定方程 的实根个数.
38. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 . 试证存在 , 使得
39. 对函数
填写下表:
40. 证明当 时, .