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卷2

数学

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

在

x = a

处连续,

ϕ (x) = | x - a | f (x)

，若

ϕ (x)

在

x = a

处可导，则

A.

f (a) = 0

B.

f (a) \neq 0

C.

f^{'} (a) = 0

D.

f^{'} (a) \neq 0

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2. 设

f (x)

以2为周期且

f^{'} (1) = π

,则

lim_{x \to 0} \frac{f (3 + 2 x) - f (- 1 - \sin x)}{x} =

A.

π

B.

2 π

C.

3 π

D.

4 π

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3. 设

g (x)

有界

f (x) = {\begin{cases} \frac{\cos x - 1}{x}, & x < 0 \\ x^{\frac{3}{2}} g (x), & x \geq 0 \end{cases}

，则

f (x)

在

x = 0

处

A.

极限不存在

B.

存在极限但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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4. 下列函数中,在

x = 0

处可导的是( ).

A.

f (x) = \frac{| x |}{x + 1}

B.

f (x) = \sqrt{\cos x}

C.

f (x) = x \arctan \frac{1}{x}

D.

f (x) = \cos \sqrt{| x |}

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5. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

A.

(1, \frac{π}{2}]

B.

k ⩾ \frac{π}{2}

或者

k < 1

C.

k > \frac{π}{2}

或者

k ⩽ 1

D.

k = 1

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6. 下列有关定义在

(- \infty, + \infty)

上的可导函数

f (x)

的说法正确的是

A.

若

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

, 并且

\exists x_{0} \in (0, + \infty)

, 使得

f (x_{0}) > A, \exists x_{1} \in (0, + \infty)

并且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得

f (x_{1}) < A

, 那么

f (x)

在

(0, + \infty)

内有最大值和最小值。

B.

若

f (x)

是奇函数, 并且

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = A (\neq 0)

, 则

f (x)

的斜渐近线条数一定是偶数。

C.

若

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{x} f (t) d t

并且

f (0) = 1

, 则

f^{''} (0) = 2

D.

令

g (x) = {\begin{cases} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}, x \neq x_{0} \\ f^{'} (x_{0}), x = x_{0} \end{cases}

, 其中

x_{0} \in (- \infty, + \infty)

, 则

g^{'} (x_{0})

存在

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7. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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8. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续, 下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

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9. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x}) (x > 0)

的渐近线条数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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10. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

, 则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导.

B.

恰有一个不可导点.

C.

恰有两个不可导点.

D.

至少有三个不可导点.

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二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 极限

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} =

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12. 若

x^{2} - a \sin x

和

x

是

x \to 0

时的等价无穷小, 则

a =

.

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13. 设

f (x)

在

x = 0

处可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 9

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{3 x} =

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14. 曲线

y = \arctan \frac{1}{x}

在点

(1, \frac{π}{4})

的切线方程为

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15. 设

{\begin{matrix} x = t e^{t}, \\ y = \sin 2 t, \end{matrix}

则导数

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0} =

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16. 设

f (x) = (x - 1) (x - 3)^{3} (x - 5)^{5} (x - 7)^{7}

, 则

f^{''''} (3) =

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17. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导, 且

f (0) = 0

, 其反函数为

g (x)

, 满足

\int_{0}^{f (x)} g (t) d t = (x - 1) e^{x} + x^{2} + 1,

则

f (x)

的表达式为

f (x) =

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18. 设

f (x) = \sin x

,

f [φ (x)] = 1 - x^{2}

, 则

ϕ (x) = ξ

，定义域为

\underset{―}{}

.

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19. 设

f (x)

连续可导,且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) + 1}{x - 1} = 2

，则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 + 2 x) - f (1 - 3 x)}{x} = \underset{―}{}

.

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20. 设

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{10 x} - 10)

, 则

f^{'} (0) = \underset{―}{} .

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21. 设

f (x) = {\begin{cases} \ln (1 + a x), & x > 0 \\ e^{2 x} + b, & x \leq 0 \end{cases}

，且

f^{'} (0))

存在,则

a = \underset{―}{}, b = \underset{―}{}

.

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22. 设

y = y (x)

满足

Δ y = \frac{Δ x}{1 + x^{2}} + o (Δ x)

,，且

y (0) = 1

，则

y (x) = \underset{―}{}

.

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23. 设

y = y (x)

满足

Δ y = \frac{Δ x}{1 + x^{2}} + o (Δ x)

，且

y (0) = 1

，则

y (x) = \underset{―}{}

.

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24. 设

f (x) = lim_{t \to 0} x^{2} (1 - t^{2})^{\frac{x}{\sin t^{2}}}

, 则

f^{'} (x) = \underset{―}{}

.

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25. 设

e^{x + y} = x y + 1

, 则

y^{'} (0) = 8

.设

y = \frac{1}{2 x - 1}

, 则

y^{10} (0) = \underset{―}{}

.

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续.
(1) 证明存在

ξ \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{ξ} f (x) d x = (b - ξ) f (ξ)

;
(2) 如果

f (x)

在

(a, b)

内取得最大值和最小值, 证明存在

η \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{η} f (x) d x = (η - a) f (η) .

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27. 已知

y (x)

由

x = \int_{1}^{y - x} \sin^{2} (\frac{π}{4} t) d t

确定，求

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0}

.

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28. 已知

f (x)

在

[0, 2]

上二阶可导，且

max_{0 \leq x \leq 2} {| f (x) |, | f^{''} (x) |} \leq 1 ，

证明: 对任意的

x \in [0, 2], | f^{'} (x) | \leq 2

.

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29. 证明:

I (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y

在

(0, + \infty)

上内闭一致收敛.

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30. 1.计算下列函数的导数.

(1)

y = \ln^{2} \arctan x

.

(2)

y = e^{\sin^{2} \frac{1}{x}} + \arctan \frac{1 + x}{1 - x}

.

(3)

y = x^{\sin^{2} x}

.

(4)

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

.

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31. (1)设

y = y (x)

由

e^{x y} = x^{2} + y^{2} + 1

确定，求

\frac{d y}{d x}

.

(2)设

y = y (x)

由

\sin x y + y - 3 x = 1

确定,求

y^{'} (0)

.

(3)设

y = y (x)

由

e^{x y} = \sin 2 x + y^{3}

确定,求

y^{'} (0)

.

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32. 设

f (x) = {\begin{cases} 2 x + b, & x < 0 \\ \ln (1 + a x) + 1, & x \geq 0 \end{cases}

，且

f^{'} (0)

存在,求

a

，

b

.

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33. 设

y = \ln (2 x + 1)

，求

y^{(n)} (n \geq 2)

.

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34. (1)设函数

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln (1 + t^{2}) \end{cases}

确定，求

\frac{d y}{d x}

，

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.
(2)设函数

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = 1 + t^{2} \\ y = \sin 2 t \end{cases}

确定，求

\frac{d y}{d x}

,

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.

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35. (1)设函数

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln (1 + t^{2}) \end{cases}

确定，求

\frac{d y}{d x}

，

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.
(2)设函数

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = 1 + t^{2} \\ y = \sin 2 t \end{cases}

确定，求

\frac{d y}{d x}

,

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.

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36. 求极限:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x} - (\sin x)^{x}}{x^{3}}

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37. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) \cos x^{2}}{\cos x - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}

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38. 求极限:

lim_{x \to 0} {[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}]}^{\frac{1}{1 - \cos x}}

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39. 求

lim_{x \to 0} \frac{{(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t)}^{2}}{\int_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} d t}

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40. 设

f (x)

二阶可导并且

f (x)

具有反函数

f^{- 1} (x), f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{f^{- 1} (x)}]

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