卷3-数学组卷-自助组卷

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卷3

数学

一、单选题（共 16 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} e^{a x} & x \leq 0 \\ b (1 - x^{2}) & x > 0 \end{array}

处处可导, 那么

A.

a = b = 1

B.

a = - 2, b = - 1

C.

a = 0, b = 1

D.

a = 1, b = 0

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2. 设

x = a

为函数

y = f (x)

的极值点, 则下列论述正确的是

A.

f (a) = 0

B.

f^{'} (a) = 0

C.

f^{″} (a) = 0

D.

以上都不对

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3. 设

f (x)

在[-1,1]上二阶可导，且

f^{″} (x) > 0,

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2

,则

A.

f (x) < 0

.

B.

f (0) > 0

.

C.

f (x) \leq 1

.

D.

f (0) > 1

.

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4. 设

f (x)

在

[0, 1]

上可导, 且

f^{'} (x) < 0

, 则下列结论正确的是
(1) 当

0 < t < 1

时,

\int_{0}^{t} f (x) d x < \int_{0}^{1} t f (x) d x

.
(2) 当

0 < t < 1

时,

\int_{0}^{t} f (x) d x > \int_{0}^{1} t f (x) d x

.
(3) 当

x ⩾ 0

时,

\int_{0}^{x} x f (t) d t ⩾ 2 \int_{0}^{x} t f (t) d t

.
(4) 当

x ⩾ 0

时,

\int_{0}^{x} x f (t) d t ⩽ 2 \int_{0}^{x} t f (t) d t

.

A.

(1) (4).

B.

(2) (3).

C.

(2) (4).

D.

(1) (3).

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5. 设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{1 + x^{2}} d x, I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} d x, I_{3} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{(1 + x)^{2}} d x

, 则

A.

I_{1} > I_{2} > I_{3}

.

B.

I_{3} > I_{2} > I_{1}

.

C.

I_{2} > I_{1} > I_{3}

.

D.

I_{2} > I_{3} > I_{1}

.

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6. 设

f (x)

在

(- 1, 1]

上二阶可导, 且

f^{''} (x) > 0, \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1

, 则

A.

f (0) ⩽ 0

.

B.

f (0) > 0

.

C.

f (0) ⩽ \frac{1}{2}

.

D.

f (0) > \frac{1}{2}

.

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7.

f (x) = \frac{x \ln | x |}{| x - 1 |} e^{\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}}

的无穷间断点的个数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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8. 设函数

f (x)

可导,

g (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{| x |} + \frac{1}{| x |} \sin^{2} x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, F (x) = f [g (x)]

, 则

F (x)

在

x = 0

点可导的充分必要条件是

A.

f^{'} (0) = 0

.

B.

f^{'} (0) \neq 0

.

C.

f (0) = 0

.

D.

f (0) \neq 0

.

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9. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 - e^{\frac{3}{x}}} + \frac{\ln (1 - a x)}{| x |}, & x \neq 0 \\ b, & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a = 1, b = - 1

.

B.

a = - 1, b = 1

.

C.

a = 1, b = 1

.

D.

a = - 1, b = - 1

.

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10. 设函数

f (x)

的二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示, 则曲线

y =

f (x)

的拐点个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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11. 若曲线

y = e^{x}

与直线

y = a x (a > 0)

有两个交点, 则

a

的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{e})

.

B.

(\frac{1}{e}, 1)

.

C.

(1, e)

.

D.

(e, + \infty)

.

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12. 关于无穷小量, 哪一个是正确的

A.

无穷小量是以零为极限的函数

B.

无穷小量就是数 0

C.

无穷小量就是一个很小的数

D.

0 不是无穷小

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13. 下列极限正确的是

A.

lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 1

B.

lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1

C.

lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 1

D.

lim_{x \to \infty} \frac{\sin 2 x}{x} = 1

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14. 极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos x - 1} =

A.

2

B.

\infty

C.

0

D.

- 2

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15. 设

y = e^{\sin x}

, 则微分

d y =

A.

e^{\sin x} d x

B.

e^{\sin x} d \sin x

C.

e^{\sin x}

D.

e^{\sin x} \cos x

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16. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3}, x \leq 1 \\ x^{2}, x > 1 \end{cases}

, 则

f (x)

在

x = 1

处的

A.

左、右导数都存在

B.

左导数存在, 右导数不存在

C.

左导数不存在, 右导数存在

D.

左、右导数都不存在

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

17. 极限

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + \cos^{3} x - 1}{(x + \sin x)^{2}} =

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18. 极限

lim_{n \to \infty} (\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + n}}) =

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19. 设函数

y = \ln \tan \sqrt{x}

, 则

d y =

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20. 设

f (x, y) = {\begin{cases} e^{x^{2} + y^{2}} \frac{\sin \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0, \\ 1, & x^{2} + y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} ⩽ t^{2}, \end{cases}

则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{π t^{2}} \iint_{D} f (x, y) d x d y =

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21. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x + e^{n x}}{1 + e^{n x}}

, 则

f (x - 1)

的间断点为

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22. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 1}{x^{2} + y^{2}} = 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 h, 0) - f (0, h)}{h} =

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23. 方程

\sum_{i = 1}^{100} \frac{1}{x - i} = 0

实根的个数为

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

24. 计算函数

y = {(\frac{x}{1 + x})}^{x}

的一阶导数

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25. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上二阶可导, 函数

g (x) = {\begin{array}{cc} a x^{2} + b x + c & x > 0 \\ f (x) & x \leq 0 \end{array}

, 试确定常数

a, b, c

的值, 使得函数

g (x)

在

x = 0

点二阶可导.

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26. 证明：当

x > 0

时,

1 + x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) > \sqrt{1 + x^{2}}

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27. 设

y = y (x)

满足

x^{2} y^{'} + y = x^{2} e^{\frac{1}{x}} (x \neq 0)

, 且

y (1) = 3 e

.
(I) 求

y = y (x)

的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线

y = y (x)

与

y = k (k > 0)

不同交点的个数.

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28. 求出使不等式

{(1 + \frac{1}{n})}^{n + a} ⩽ e ⩽ {(1 + \frac{1}{n})}^{n + β}, n = 1, 2, \dots

成立的最大的数

α

和最小的数

β

.

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29.

lim_{x \to 0} \frac{(2 + 3 \sin x)^{x} - 2^{x}}{\tan^{2} x - 4 x^{3}}

.

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30. 求曲线

y = \frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x}

的所有渐近线方程.

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31. 已知曲线的极坐标方程是

r = 1 - \cos θ

，求该曲线上对应于

θ = \frac{π}{6}

处的切线与法线的直角坐标方程.

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32. 已知

y = 1 + x e^{x y}

, 求

{y^{'} |}_{x = 0}

及

{y^{''} |}_{x = 0}

.

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33. 已知

{\begin{cases} x = \ln (1 + t^{2}) \\ y = \arctan t \end{cases}

，求

\frac{d y}{d x}

及

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.

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34. 设函数

y = \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + x - 3}

，求

y^{(n)} (0)

.

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35. 一长为

L

米的木梯斜靠在倾角为

\frac{π}{3}

的光滑斜坡上，A点位于斜坡底部，木梯的顶部距离

A

点

h

米，底部距离

A

点

d

米，受重力作用木梯的顶部以

a m / s

的速度沿斜坡下滑，底部水平向右运动. 问: 当木梯的顶部和底部与

A

点的距离相等时，底部移动的水平速度为多少?

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36. 设函数

f (x) = {\begin{cases} e^{x} (\sin x + \cos x), x \leq 0, \\ a x^{2} + b x + c, x > 0, \end{cases}

试确定常数

a, b, c

的值使得

f^{''} (x)

在

(- \infty, + \infty)

内处处存在.

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37. 已知等式

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + a^{2} y = 0

，对其作变量代换

x = \sin t

，计算所得

y

关于

t

的导数的等式.

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38. 设

f (x)

是

[0, 1]

上的连续函数, 证明: 存在

c \in (0, 1)

使得

\int_{0}^{c} f (x) d x = (1 - c) f (c)

.

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39. 求实系数二次多项式

p (x)

，使得

| p (x) + \frac{1}{x - 3} | < 0.02, \forall x \in [- 1, 1] .

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40. 设

f (x)

是

R

上的一个有界连续函数，且满足

lim_{h \to 0} sup_{x \in R} | f (x + h) - 2 f (x) + f (x + h) | = 0 .

证明:

f (x)

在

R

上一致连续.

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