一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
曲线 $y=\sqrt{x^2-2 x+4}+x$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线$y=x\ln\left(e+\dfrac{1}{x-1}\right)$的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+e$
$\text{B.}$ $y=x+\dfrac{1}{e}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\dfrac{1}{e}$
设函数 $y(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left[1-\frac{\ln (1-t)}{x^2}\right]^{\frac{x}{\operatorname{lin} t}}$, 下列关于曲线 $y=y(x)$ 的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.
$\text{A.}$ (2).
$\text{B.}$ (3).
$\text{C.}$ (2)(3).
$\text{D.}$ (2)(4).
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(e+a x+b x^2\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{e}{2}, b=-\frac{11}{24} e$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{e}{2}, b=\frac{11}{24} e$.
$\text{C.}$ ${a}={e}, {b}=\frac{{e}}{2}$.
$\text{D.}$ ${a}={e}, {b}=-\frac{{e}}{{2}}$.
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4 , 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$,则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$
$y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为。
设两曲面 $S_1: 2 \pi x^2-2 \pi y^2+16 z^2=\pi^2, S_2: z=\arctan \frac{y}{x}$ 在第一卦限内的点 $P$ 处有公共切平面, 则此切平面的方程为
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
设 $f(x, y)$ 在 $(2,-2)$ 处可微，且满足:
$$
f(\sin x y+2 \cos x, x y-2 \cos y)=1+x^2+y^2+o\left(x^2+y^2\right)
$$
则曲面 $z=f(x, y)$ 过点 $(2,-2, f(2,-2))$ 处的切平面方程为
抛物线 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率是:
三、解答题 （ 共 27 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设$f(x)$在$[0,1]$上连续,在$(0,1)$内可导,且$f(1)=0$,证明:存在$\xi\in(0,1)$,使得$\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$.
求极限$ \lim \limits _{x \rightarrow 0}\dfrac { \sqrt {1+x \cos x}- \sqrt {1+ \sin x}}{x^{3}} $.
求极限$\lim \limits _{x \rightarrow 0}\dfrac { \sqrt {1+x}+ \sqrt {1-x}-2}{x^{2}}$.
证明:当$x>0$时, $\dfrac {x}{1+x} < \ln (1+x) < x$.
讨论方程$ \ln x= \dfrac {x}{e}-1 $的根的个数.
当$x>0$时,方程 $kx+ \dfrac {1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个根，求$k$的取值范围.
求曲线$y=2x \arctan x$的斜渐近线.
计算$ \int _{1}^{2} \dfrac {dx}{ \sqrt {x}(4+x)}$.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
证明方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-2021$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内只有两个不同的实根.
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, f(1)=0$, 证明: $\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M}{3}$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\sqrt{e}$, 求 $f^{\prime \prime}(0)$ 的 值.
讨论方程 $f(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n \frac{x^n}{n}=0$ ( $n$ 为正整数) 有几个实根.
分析: 对于方程根的存在性问题, 往往需要对其进行分类讨论; 分别是 $x$ 的分类 讨论和 $n$ 的分类讨论.
设 $y=y(x)$ 由 $x^3+3 x^2 y-2 y^3=2$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
设非负函数 $y(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导且单调减少. 记曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P$ 处的切 线与 $x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为 $P_x, P_y$. 若 $\left|P P_x\right|=2\left|P P_y\right|$, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线 $y=y(x)$ 的方程;
(II) 曲线 $y=y(x)$ 在点 $(2, y(2))$ 处的曲率半径.
求函数 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点和极值.
设 $F(r)=\int_0^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta, r \in R$. 证明:
$$
F(r) \equiv 2 \pi .
$$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=a, a \in R$. 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=a$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.
设抛物线 $f(x)=a x^2+b x+c$ 过点 $(0,0)$ 与 $(1,2)$ 且 $a < 0$, 确定 $a, b, c$ 使得抛 物线与 $x$ 轴所围图形面积最小。
设 $b>a>0$, 证明: $\frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
设函数 $f(x)$ 的定义域为全体实数, 并且 $f(x)$ 具有二阶导数, 并且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x)>0$, 在同 一个坐标系下, 曲线 $y=f(x)$ 和直线 $y=x$ 有且只有两个交点 $P_1(a, f(a))$ 和 $P_2(b, f(b))$, 其中 $a < b$ 。
(1) 求证: $f^{\prime}(a) < 1 < f^{\prime}(b)$ 。并且 $\forall x < a$, 一定有 $f(x)>x ; \forall a < x < b$, 一定有 $f(x) < x$ 。
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 求证: 当 $x_1 < a$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$; 当 $a < x_1 < b$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 。
设 $f(x) \in C[a, b], f(a)=f(b)$ 。证明, 存在数列 $x_n, y_n$ 满足 $x_n < y_n$,
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(y_n-x_n\right)=0 \text {, 且 } f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right) 。
$$