卷7-数学组卷-自助组卷

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卷7

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 曲线

y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + x

的渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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2. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x - 1})

的斜渐近线方程为

A.

y = x + e

B.

y = x + \frac{1}{e}

C.

y = x

D.

y = x - \frac{1}{e}

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3. 设函数

y (x) = lim_{t \to 0} {[1 - \frac{\ln (1 - t)}{x^{2}}]}^{\frac{x}{lin t}}

, 下列关于曲线

y = y (x)

的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.

A.

(2).

B.

(3).

C.

(2)(3).

D.

(2)(4).

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4. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

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5. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

-1

D.

-2

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 曲线

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln \sqrt{1 + t^{2}} \end{cases}

对应于

t = 1

处的法线方程为

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7. 曲线

y = x \sin x + 2 \cos x (- \frac{π}{2} < x < 2 π)

的拐点是

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8. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

, 则

lim_{n \to \infty} n a_{n} =

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y = x \ln (e + \frac{1}{x^{2}})

的斜渐近线为。

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10. 设两曲面

S_{1} : 2 π x^{2} - 2 π y^{2} + 16 z^{2} = π^{2}, S_{2} : z = \arctan \frac{y}{x}

在第一卦限内的点

P

处有公共切平面, 则此切平面的方程为

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11. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

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12. 设

f (x, y)

在

(2, - 2)

处可微，且满足:

f (\sin x y + 2 \cos x, x y - 2 \cos y) = 1 + x^{2} + y^{2} + o (x^{2} + y^{2})

则曲面

z = f (x, y)

过点

(2, - 2, f (2, - 2))

处的切平面方程为

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13. 抛物线

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处的曲率是:

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三、解答题（共 27 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 设

f (x)

在

[0, 1]

上连续,在

(0, 1)

内可导,且

f (1) = 0

,证明:存在

ξ \in (0, 1)

,使得

ξ f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

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15. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \cos x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^{3}}

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16. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 2}{x^{2}}

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17. 证明:当

x > 0

时,

\frac{x}{1 + x} < \ln (1 + x) < x

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18. 证明:当

x > 0

时,

e^{x} > 1 + x

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19. 讨论方程

\ln x = \frac{x}{e} - 1

的根的个数.

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20. 当

x > 0

时,方程

k x + \frac{1}{x^{2}} = 1

有且仅有一个根，求

k

的取值范围.

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21. 求曲线

y = 2 x \arctan x

的斜渐近线.

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22. 计算

\int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x} (4 + x)}

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23. 设

f (x)

为连续函数, 且满足

f (x) = x^{2} - x \cdot f (2) + 2 \int_{0}^{1} f (x) d x

, 求

f (x)

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24. 证明方程

\ln x = \frac{x}{e} - 2021

在区间

(0, + \infty)

内只有两个不同的实根.

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25. 设

f^{''} (x)

在

[0, 2]

上连续且

| f^{''} (x) | \leq M, f (1) = 0

, 证明:

| \int_{0}^{2} f (x) d x | \leq \frac{M}{3}

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26. 设

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1, lim_{x \to 0} {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{\frac{1}{f (x)}} = \sqrt{e}

, 求

f^{''} (0)

的值.

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27. 讨论方程

f (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n} = 0

(

n

为正整数) 有几个实根.
分析: 对于方程根的存在性问题, 往往需要对其进行分类讨论; 分别是

x

的分类讨论和

n

的分类讨论.

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28. 设

y = y (x)

由

x^{3} + 3 x^{2} y - 2 y^{3} = 2

确定, 求

y (x)

的极值.

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29. 设非负函数

y (x)

在

(0, + \infty)

内可导且单调减少. 记曲线

y = y (x)

上任意一点

P

处的切线与

x

轴,

y

轴的交点分别为

P_{x}, P_{y}

. 若

| P P_{x} | = 2 | P P_{y} |

, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线

y = y (x)

的方程;
(II) 曲线

y = y (x)

在点

(2, y (2))

处的曲率半径.

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30. 求函数

f (x) = (1 - x) \sqrt{| x |}

在

(- 1, 1)

的极值点和极值.

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31. 设

F (r) = \int_{0}^{2 π} e^{r \cos θ} \cos (r \sin θ) d θ, r \in R

. 证明:

F (r) \equiv 2 π .

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32. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

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33. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数，且

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in [0, 2]} {| f (x) |} .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 2)

，使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

；
(2) 若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

，则

M = 0

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34. 设数列

{x_{n}}, {a_{n}}, {b_{n}}

分别满足

x_{n} = {(1 + \sin \frac{1}{n})}^{n}, a_{n} = \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 1}}, b_{n} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}

.
(I) 求

lim_{n \to \infty} x_{n}

;
(II ) 证明:

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在.

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35. 求曲线

x^{4} + x^{2} y - y^{3} = 1

在点

(1, 1)

处的切线方程.

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36. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 证明:
(1) 存在

x_{0} \in (0, 1)

, 使得

f (x_{0}) = 1 - x_{0}

;
(2) 存在两个不同的点

x_{1}, x_{2} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 1

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37. 设抛物线

f (x) = a x^{2} + b x + c

过点

(0, 0)

与

(1, 2)

且

a < 0

, 确定

a, b, c

使得抛物线与

x

轴所围图形面积最小。

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38. 设

b > a > 0

, 证明:

\frac{b - a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

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39. 设函数

f (x)

的定义域为全体实数, 并且

f (x)

具有二阶导数, 并且

f^{''} (x) > 0, f^{'} (x) > 0

, 在同一个坐标系下, 曲线

y = f (x)

和直线

y = x

有且只有两个交点

P_{1} (a, f (a))

和

P_{2} (b, f (b))

, 其中

a < b

。
(1) 求证:

f^{'} (a) < 1 < f^{'} (b)

。并且

\forall x < a

, 一定有

f (x) > x; \forall a < x < b

, 一定有

f (x) < x

。
(2) 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = f (x_{n})

, 求证: 当

x_{1} < a

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

; 当

a < x_{1} < b

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

。

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40. 设

f (x) \in C [a, b], f (a) = f (b)

。证明, 存在数列

x_{n}, y_{n}

满足

x_{n} < y_{n}

lim_{n \to \infty} (y_{n} - x_{n}) = 0, 且 f (x_{n}) = f (y_{n}) 。

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