一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则下列统计量中, ( ) 为 $\mu$ 的无偏估计且方差最小.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{6} X_3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{3} X_3$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2+\frac{2}{5} X_3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{7} X_1+\frac{2}{7} X_2+\frac{3}{7} X_3$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 已知 $k \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 则 $k=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2(n-1)}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$
设总体 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=(-1)^n n+p\right\}=\frac{1}{n(n+1)}, n=1,2, \cdots$, 其中 $p$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 $p$ 的矩估计量 $\hat{p}=$
$\text{A.}$ $\bar{X}-\ln 2$.
$\text{B.}$ $\bar{X}+\ln 2$.
$\text{C.}$ $\bar{X}-\ln 2+1$.
$\text{D.}$ $\bar{X}+\ln 2-1$.
二、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设某手机每天销售量 $X$ (单位:万台) 的概率分布律为
$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
10 & 15 & 20 \\
\theta^2 & \theta(1-\theta) & 1-\theta
\end{array}\right),
$$
其中 $0 < \theta < 1$ 为未知参数, 且每天的退货率为 $5 \%$, 现有一周的销售量: $15,10,10,15,20,20,15$.
(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$;
(2) 记 $Y$ 为每天的退货量, 根据 (1) 中的 $\hat{\theta}$, 求 $E(Y)$.
$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0\end{array}\right.$ (其中 $\theta>0$ 为未知参数), $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求参数 $\theta$ 的矩估计量;
(II) 求参数 $\theta$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自区间 $[\theta, \theta+1]$ 上均匀分布的总体 $X$ 的简单随机样本, 试求
(I) 参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1$;
(II) 参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_2$;
(III) $E\left(\hat{\theta}_1\right)$ 和 $D\left(\hat{\theta}_1\right)$ 的值.
设 $X_1, \cdots, X_{16}$ 是正态总体 $N(\mu, 4)$ 的一个样本, 其观测值为 $x_1, \cdots, x_{16}$, 考虑下列检验问题:
$H_0: \mu=6, \quad H_1: \mu \neq 6 .$
检验的拒绝域为 $W=\{|\bar{x}-6| \geqslant c\}$ (其中 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i$ ).
(I) 求出显著性水平为 $\alpha=0.05$ 时的常数 $c$ 的值 (精确到 2 位小数);
(II) 求该检验在 $\mu=6.5$ 处犯第二类错误的概率 (精确到 2 位小数).
$$
(\Phi(0.96)=0.832, \Phi(1.96)=0.975, \Phi(2.96)=0.999 .)
$$
设总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记
$$
X(n)=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, T_c=c X(n) .
$$
(1) 求 $c$, 使得 $T_c$ 是 $\theta$ 的无偏估计;
(2) 记 $h(c)=E\left(T_c-\theta\right)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小.
设总体 $X$ 服从 $(0, \theta]$ 上的均匀分布, $\theta>0, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数;
(3) 若 $P\left\{\hat{\theta} < \theta < \theta_0\right\}=1-\alpha, 0 < \alpha < 1$, 求 $\theta_0$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ 与 $\mathrm{N}\left(2 \mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 为末知参数, 记 $Z=2 X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $\mathrm{E}\left(\hat{\sigma}^2\right)$ 和 $\mathrm{D}\left(\hat{\sigma}^2\right)$.