在平面内, 将一个多边形先绕自身的顶点 $\mathrm{A}$ 旋转一个角度 $\left(\theta\left(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\right)\right.$, 再将旋转后的多边形以点 $\mathrm{A}$ 为位似中心放大或缩小, 使所得多边形与原多边形对应线段的比为 $k$, 称这种变换为自旋转位似变换. 若顺时针旋转, 记作 $T(A$, 顺 $\theta, k)$; 若逆时针旋转, 记作 $\mathrm{T}(\mathrm{A}$, 逆 $\theta, \mathrm{k})$.
例如: 如图(1), 先将 $\triangle A B C$ 绕点 $\mathrm{B}$ 逆时针旋转. $50^{\circ}$, 得到 $\triangle A_1 B C_1$, 再将 $\triangle A_1 B C_1$ 以点 $\mathrm{B}$ 为位似中心缩小到原来的 $\frac{1}{2}$, 得到 $\triangle A_2 B C_2$, 这个变换记作 $\mathrm{T}$ ( $\mathrm{B}$, 逆 $50^{\circ}, \frac{1}{2})$.
(1) 如图(2), $\triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{C}\right.$, 顺 $\left.60^{\circ} , 2\right)$ 得到 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$, 用尺规作出 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$. (保留作图痕迹)
(2) 如图(3), $\triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{B}\right.$, 逆 $\left.\mathrm{a}, \mathrm{k}_1\right)$ 得到 $\triangle E B D, \triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{C}\right.$, 顺 $\left.\beta, \mathrm{k}_2\right)$得到 $\triangle F D C$, 连接 $\mathrm{AE}, \mathrm{AF}$. 求证: 四边形 $\mathrm{AFDE}$ 是平行四边形.
(3) 如图(4), 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=150^{\circ}, A B=2, A C=1$. 若 $\triangle A B C$ 经过 (2) 中的变换得到的四边形 AFDE 是正方形.
I. 用尺规作出点 $\mathrm{D}$ (保留作图痕迹, 写出必要的文字说明);
II. 直接写出 $A E$ 的长.