单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知全集 $U=A \cup B=\{x \in \mathbf{N} \mid 0 \leq x \leq 8\}, A \cap\left(C_U B\right)=\{1,3,5\}$, 则集合 $B$ 为
$\text{A.}$ $\{2,4,6,7\}$
$\text{B.}$ $\{0,2,4,6,8\}$
$\text{C.}$ $\{0,2,4,6,7,8\}$
$\text{D.}$ $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$
已知直线 $l 、 m 、 n$ 与平面 $\alpha 、 \beta$, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, l \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $l / / n$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, l \subset \alpha$, 则 $l \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $l \perp n, m \perp n$, 则 $l / / m$
$\text{D.}$ 若 $l \perp \alpha, l / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
若抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$ 上一点 $M(n, 6)$ 到焦点的距离是 $4 p$, 则 $p$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{12}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{6}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{6}$
在党的二十大报告中, 习近平总书记提出要发展 “高质量教育”, 促进城乡教育均衡发展. 某地区教育行政部门积极响应党中央号召, 近期将安排甲、乙、丙、丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作, 则每个地区至少安排 1 名专家的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{27}$
蚊香具有悠久的历史, 我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下: 在水平直线上取长度为 1 的线段 $A B$, 作一个等边三角形 $A B C$, 然后以点 $B$ 为圆心, $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点 $D$ (第一段圆弧), 再以点 $C$为圆心, $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点 $E$, 再以点 $A$ 为圆心, $A E$ 为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时, “蚊香”的长度为
$\text{A.}$ $44 \pi$
$\text{B.}$ $64 \pi$
$\text{C.}$ $70 \pi$
$\text{D.}$ $80 \pi$
已知圆 $C: x^2+2 x+y^2-1=0$, 直线 $m x+n(y-1)=0$ 与圆 $C$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点. 若 $\triangle A B C$ 为直角三角形, 则
$\text{A.}$ $m n=0$
$\text{B.}$ $m-n=0$
$\text{C.}$ $m+n=0$
$\text{D.}$ $m^2-3 n^2=0$
现有甲、乙两组数据, 每组数据均由六个数组成, 其中甲组数据的平均数为 3 , 方差为 5 , 乙组数据的平均数为 5 , 方差为 3 . 若将这两组数据混合成一组, 则新的一组数据的方差为
$\text{A.}$ 3.5
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 4.5
$\text{D.}$ 5
“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇, 定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 的曼哈顿距离为: $d(A, B)=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$.已知点 $M$ 在圆 $O: x^2+y^2=1$ 上,点 $N$ 在直线 $l: 3 x+y-9=0$ 上, 则 $d(M, N)$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}-1$
$\text{C.}$ $\frac{18-2 \sqrt{10}}{5}$
$\text{D.}$ $3-\frac{\sqrt{10}}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
设集合 $P=\{x \mid 0 \leq x \leq 4\}, Q=\{y \mid 0 \leq y \leq 4\}$, 则下列图象能表示集合 $P$ 到集合 $Q$ 的函数关系的有
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知二项展开式 $f(x)=\left(x^3-\frac{1}{x}\right)^8$, 下列说法正确的有
$\text{A.}$ $f(x)$ 的展开式中的常数项是 56
$\text{B.}$ $f(x)$ 的展开式中的各项系数之和为 0
$\text{C.}$ $f(x)$ 的展开式中的二项式系数最大值是 70
$\text{D.}$ $f(\mathrm{i})=-16$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位
在 $\triangle A B C$ 中, 若 $A=n B\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$, 则
$\text{A.}$ 对任意的 $n \geq 2$, 都有 $\sin A < n \sin B$
$\text{B.}$ 对任意的 $n \geq 2$, 都有 $\tan A < n \tan B$
$\text{C.}$ 存在 $n$, 使 $\sin A>n \sin B$ 成立
$\text{D.}$ 存在 $n$, 使 $\tan A>n \tan B$ 成立
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$
定义两个点集 $S 、 T$ 之间的距离集为 $d(S, T)=\{\mid P Q \| P \in S, Q \in T\}$, 其中 $|P Q|$ 表示两点 $P 、 Q$ 之间的距离, 已知 $k 、 t \in \mathrm{R}, S=\{(x, y) \mid y=k x+t, x \in \mathrm{R}\}, T=\left\{(x, y) \mid y=\sqrt{4 x^2+1}, x \in \mathrm{R}\right\}$, 若 $d(S, T)=(1,+\infty)$, 则 $t$ 的值为
已知 $C: y^2=\frac{3}{2} x$, 过点 $P(1,0)$ 倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点 ( $\mathrm{A}$ 在第一象限内), 过点 $\mathrm{A}$ 作 $A D \perp x$ 轴, 垂足为 $D$, 现将 $C$ 所在平面以 $x$ 轴为翻折轴向纸面外翻折, 使得 $\angle x_{\text {上平面 }}-x_{\text {下平面 }}=\frac{2 \pi}{3}$, 则几何体 $P A B D$ 外接球的表面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=a \ln x-x$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 当 $a>0$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最大值.
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $\left\{\frac{S_n}{n(n+1)}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 令 $b_n=\frac{(2 n-1) a_n}{S_n}, T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 证明: $\sum_{i=1}^n T_i \leq \frac{6^n-1}{5}$.
最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功, 且每次试验的成功概率为 $p(0 < p < 1)$. 现对该产品进行独立重复试验, 若试验成功, 则试验结束; 若试验不成功, 则继续试验, 且最多试验 8 次. 记 $X$ 为试验结束时所进行的试验次数, $X$ 的数学期望为 $E(X)$.
(1) 证明: $E(X) < \frac{1}{p}$;
(2) 某公司意向投资该产品, 若 $p=0.2$, 每次试验的成本为 $a(a>0)$ 元, 若试验成功则获利 $8 a$ 元, 则该公司应如何决策投资? 请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$, 离心率为 $\frac{1}{2}$, 经过点 $F_1$且倾斜角为 $\theta\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点 (其中点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴上方), $\triangle A B F_2$ 的周长为 8 .
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 如图, 将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴折叠, 使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面 (平面 $A F_1 F_2$ ) 与 $y$轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面 (平面 $B F_1 F_2$ ) 互相垂直.
(1)若 $\theta=\frac{\pi}{3}$, 求异面直线 $A F_1$ 和 $B F_2$ 所成角的余弦值;
(2) 是否存在 $\theta\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$, 使得折叠后 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $\frac{15}{2}$ ? 若存在, 求 $\tan \theta$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $h(x)$ 满足: 对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $h(x+2 \pi)=h(x)+h(2 \pi)$, 则称函数 $h(x)$ 具有性质 $P$.
(1) 判断函数 $f(x)=2 x, g(x)=\cos x$ 是否具有性质 $P$; (直接写出结论)
(2) 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\frac{3}{2} < \omega < \frac{5}{2}, \varphi \left\lvert\, < \frac{\pi}{2}\right.\right)$, 判断是否存在 $\omega, \varphi$, 使函数 $f(x)$ 具有性质 $P$ ? 若存在, 求出 $\omega, \varphi$ 的值; 若不存在, 说明理由;
(3) 设函数 $f(x)$ 具有性质 $P$, 且在区间 $[0,2 \pi]$ 上的值域为 $[f(0), f(2 \pi)]$.
函数 $g(x)=\sin (f(x))$, 满足 $g(x+2 \pi)=g(x)$, 且在区间 $(0,2 \pi)$ 上有且只有一个零点.
求证: $f(2 \pi)=2 \pi$.