已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $h(x)$ 满足: 对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $h(x+2 \pi)=h(x)+h(2 \pi)$, 则称函数 $h(x)$ 具有性质 $P$.
(1) 判断函数 $f(x)=2 x, g(x)=\cos x$ 是否具有性质 $P$; (直接写出结论)
(2) 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\frac{3}{2} < \omega < \frac{5}{2}, \varphi \left\lvert\, < \frac{\pi}{2}\right.\right)$, 判断是否存在 $\omega, \varphi$, 使函数 $f(x)$ 具有性质 $P$ ? 若存在, 求出 $\omega, \varphi$ 的值; 若不存在, 说明理由;
(3) 设函数 $f(x)$ 具有性质 $P$, 且在区间 $[0,2 \pi]$ 上的值域为 $[f(0), f(2 \pi)]$.

函数 $g(x)=\sin (f(x))$, 满足 $g(x+2 \pi)=g(x)$, 且在区间 $(0,2 \pi)$ 上有且只有一个零点.

求证: $f(2 \pi)=2 \pi$.