百师联盟广东省2023届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷



一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1. 已知集合 A={x0x3},B={0,1,2,3,4,5}, 则 (RA)B=
A. {4,5} B. {0,4,5} C. {3,4,5} D. {0,3,4,5}

2. 命题“ x0>0,x02+2x01>0 ” 的否定为
A. x0>0,x02+2x010 B. x00,x02+2x01>0 C. x>0,x2+2x10 D. x<0,x2+2x1>0

3. 三名同学到五个社区参加社会实践活动, 要求每个社区有且只有一名同学, 每名同学至多去 两个社区,则不同的派法共有
A. 90 种 B. 180 种 C. 125 种 D. 243 种

4. 已知向量 a=(2,1),b=(x1,x)(x>1), 且 |b|=5, 若 (mab)b, 则实数 m 的值为
A. 0 B. -1 C. 45 D. 54

5. 已知点 P(4,3) 是角 α 的终边上一点. 则 tana2=
A. 13 B. ±13 C. 3 或 13 D. 3

6. 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1 中, AB=BC=2, 若直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角为 30, 则直线 BC1 与直线 AC 所成的角为
A. 90 B. 30 C. 45 D. 60

7. 若直线 l:kxy+2k=0 与圆 C:x2+y24x2y4=0 交于 A,B 两点, 则当 ABC 周 长最小时, k=
A. 12 B. 12 C. 1 D. -1

8. 已知 a>0, 若对任意的 x>0,aeax1lnxe 恒成立, 则实数 a 的最小值为
A. e B. 1e C. e2 D. 1e2

二、多选题 (共 4 题 ),每题有多个选项正确
9. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念, 投人大量科研经费进行技术革新,该企业统计了最近 6 年投入的年科研经费 x (单位: 百万 元) 和年利润 y (单位: 百万元) 的数据, 并绘制成如图所示的散点图. 已知 x,y 的平均值分别为 x¯=7,y¯=10. 甲统计员得到的回归方程为 y^= 1. 69x+a^; 乙统计员得到的回归方程为 y^=2.52e0.17x; 若甲、乙二人计 算均末出现错误, 则以下结论正确的为
A. 当投入年科经费为 20 (百万)按乙统计员的回归方程可得年 利润估计值为 75.6 (百万元) (取 e3.4=30 ) B. a^=1.83 C. 方程 y^=1.69x+a^ 比方程 y^=2.52e0.17x 拟合效果好 D. yx 正相关

10. 已知定义域为 R 的偶函数 f(x) 的图象是连续不间断的曲线, 且 f(x+2)+f(x)=f(1), 对任意的 x1,x2[2,0],x1x2,f(x1)f(x2)x1x2>0 恒成立, 则
A. f(x)[0,2] 上单调递增 B. f(x) 是以 4 为周期的函数 C. f(x) 的图象关于直线 x=3 对称 D. f(x) 在区间 [100,100] 上的零点个数为 100

11. 将函数 f(x)=2cos2x2cos(x+π3) 图象上所有点的横坐标变为原来的 12, 再向左平移 φ (φ>0) 个单位长度, 得到函数 g(x) 的图象, 若对任意的 xR, 均有 g(x)g(π12) 成立, 则
A. g(x) 的地大值为 1 B. φ 的最小值为 π12 C. g(x)(π12,5π12) 上单调递增 D. 对任意的 xR, 均有 g(x)g(7π12) 成立

12. 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2, 其一条渐近线为 y=3x, 直线 l 过点 F2 且与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点, M,N 分别为 AF1F2BF1F2 的 内心, 则
A. 直线 l 倾斜角的取值范围为 (π3,2π3) B.M 与点 N 始终关于 x 轴对称 C. 三角形 MNF2 为直角三角形 D. 三角形 MNF2 面积的最小值为a2

三、填空题 (共 5 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
13.z=1ai2+i ( i 为虚数单位) 为纯虚数, 则实数 a 的值为

14. 已知函数 f(x) 满足: (1) 对 m,n>0,f(m)+f(n)=f(mn); (2) f(12)=1. 请写出一个符 合上述两个条件的函数 f(x)=

15. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 S11>S10>S12, 则满足 Sn>0 的正整数 n 的 为

16. 在三棱锥 SABC 中, 底面 ABC 是边长为 23 的正三角形, SA=AB, 点 MSAB 的 垂心, 且 CM 平面 SAB, 则三棱雉 SABC 的外接球的体积为

17. 在(1) an+1=2an+1; (2) Sn=2n+1n2; (3) Sn=2ann 三个条件中任选一个, 补充 到下面问题的横线处, 并解答.
已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1,
(1) 求 an;
(2) 设 bn=nan, 求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn.
注: 如果选择多个条件解答, 按第一个解答计分.

四、解答题 (共 5 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
18. 已知 a,b,cABC 的内角 A,B,C 所对的边, 向量 m=(sinBsinA,sinC sinA),n=(a+c,b), 且 m//n.
(1) 求角 C;
(2) 若 b4,ABC 的面积为 63,DBC 中点, 求线段 AD 的长.

19. 如图, 梯形 ABCD 中, AB//CD,ABC=π2,BC=CD=2,AD=5,DEAB, 垂 足为点 E, 将 AED 沿 DE 折起, 使得点 A 到点 P 的位置, 且 PEEB, 连接 PB,PC,M, N 分别为 PCEB 的中点.
(1) 证明: MN// 平面 PED;
(2) 求二面角 DMNC 的正弦值.

20. 乒乓球是我国的国球, “乒兵精神”激励了一代又一代国人.为弘扬国球精神,传承乒 乓球文化, 强健学生体魄, 某中学举行了乒乓球单打比赛. 比赛采用 7 局 4 胜制, 每局比赛为 11 分制, 选手只要得到至少 11 分, 并且领先对方至少 2 分 (包括 2 分), 即赢得该局比赛. 在 一局比赛中, 每人只发 2 个球就要交换发球权, 如果双方比分为 10:10 后, 每一个球就要交 换一个发球权, 经过紧张的角逐, 甲、乙两位选手进入了决赛.
(1) 若甲贏得每局比赛的概率为 23, 求甲以 4:1 贏得比赛的概率;
(2) 若在某一局比赛中, 双方战成 10:10, 且甲获得了第一球的发球权, 若甲发球时甲贏 1 分 的概率为 34, 乙发球时甲贏 1 分的概率为 12, 求两人打了 ξ(ξ5,ξN) 个球后, 甲贏得了该 局比赛的概率.

21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 66, 且经过点 A(6,15).
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 若过点 M(3,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点, 点 P 关于 x 轴的对称点为 N, 求 MNQ 面积的最大值.

22. 已知函数 f(x)=exax1.
(1) 当 a=1 时,求 f(x) 的单调区间;
(2) 证明: 当 a2 时, f(x)>1(sinx+cosx) 对任意的 x(0,+) 恒成立.

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