乒乓球是我国的国球, “乒兵精神”激励了一代又一代国人.为弘扬国球精神,传承乒 乓球文化, 强健学生体魄, 某中学举行了乒乓球单打比赛. 比赛采用 7 局 4 胜制, 每局比赛为 11 分制, 选手只要得到至少 11 分, 并且领先对方至少 2 分 (包括 2 分), 即赢得该局比赛. 在 一局比赛中, 每人只发 2 个球就要交换发球权, 如果双方比分为 $10: 10$ 后, 每一个球就要交 换一个发球权, 经过紧张的角逐, 甲、乙两位选手进入了决赛.
(1) 若甲贏得每局比赛的概率为 $\frac{2}{3}$, 求甲以 $4: 1$ 贏得比赛的概率;
(2) 若在某一局比赛中, 双方战成 $10: 10$, 且甲获得了第一球的发球权, 若甲发球时甲贏 1 分 的概率为 $\frac{3}{4}$, 乙发球时甲贏 1 分的概率为 $\frac{1}{2}$, 求两人打了 $\xi(\xi \leqslant 5, \xi \in \mathbf{N})$ 个球后, 甲贏得了该 局比赛的概率.