解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}, O$ 为 $A C$ 上一点，$O A=2$ ，以 $O$ 为圆心，以 $O A$ 为半径作圆与 $A B$ 相交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $\odot O$ 与线段 $B C$ 的公共点，连接 $O E 、 O F 、 E F$ ，并且 $\angle E O F=$ $2 \angle B E F$ ．
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
如图，已知 $A B, C D$ 为 $\odot O$ 的直径，过点 $A$ 作弦 $A E$ 垂直于直径 $C D$ 于 $F$ ，点 $B$ 恰好为 $\overparen{D E}$ 的中点，连接 $B C, B E$ ．
（1）求证：$A E=B C$ ；
（2）若 $A E=2 \sqrt{3}$ ，求 $\odot O$ 的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
如图，在菱形 $A B C D$ 中，$O$ 是对角线 $B D$ 上一点 $(B O>D O), O E \perp A B$ ，垂足为 $E$ ，以 $O E$ 为半径的 $\odot O$ 分别交 $D C$ 于点 $H$ ，交 $E O$ 的延长线于点 $F, E F$ 与 $D C$ 交于点 $G$ ．
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若 $G$ 是 $O F$ 的中点，$O G=2, D G=1$ ．
① 求扇形 $O H F$ 的面积；
② 求 $A D$ 的长．
如图，$\triangle A B C$ 中，$A B=A C$ ，以 $A C$ 为直径的 $\odot O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A C$ 延长线上一点，且 $\angle C D E=\frac{1}{2} \angle B A C$ ．
（1）求证：$D E$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若 $A B=3 B D, C E=2$ ，求 $\odot O$ 的半径．
如图 1，$\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆，$A B$ 是直径，$O D \| A C, O D$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ，且 $\angle C B D=\angle C O D$ ．
（1）求证：$B D$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若点 $E$ 为线段 $O D$ 的中点，判断以 $O 、 A 、 C 、 E$ 为顶点的四边形的形状并证明；
（3）如图 2，作 $C F \perp A B$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，求 $\frac{F G}{F C}$ 的值．
