如图，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}, O$ 为 $A C$ 上一点，$O A=2$ ，以 $O$ 为圆心，以 $O A$ 为半径作圆与 $A B$ 相交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $\odot O$ 与线段 $B C$ 的公共点，连接 $O E 、 O F 、 E F$ ，并且 $\angle E O F=$ $2 \angle B E F$ ．
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．