如图 1，$\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆，$A B$ 是直径，$O D \| A C, O D$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ，且 $\angle C B D=\angle C O D$ ．
（1）求证：$B D$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若点 $E$ 为线段 $O D$ 的中点，判断以 $O 、 A 、 C 、 E$ 为顶点的四边形的形状并证明；
（3）如图 2，作 $C F \perp A B$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，求 $\frac{F G}{F C}$ 的值．