解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零常向量, 且 $|\vec{b}|=1$ 以及 $\angle(a, b)=\frac{\pi}{4}$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+\vec{b} x|-|\vec{a}|}{x}$.
求 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{100} \mathrm{~d} x$.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ x^2+y^2=1\end{array}\right.$ 在 $y o z$ 面上的投影曲线方程.
将函数 $\tan x$ 在点 $x=0$ 处展为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.
求函数 $f(x)=x^2-x y+y^2+3 x$ 的极值, 并指出是极大值还是极小值.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x+y \geqslant 0\right\}$, 求 $\iint_D \frac{1+x y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$.
设 $f(x)=\tan x \cdot \tan (2 x) \cdot \ldots \cdot \tan (2022 x)$, 求 $f^{(2024)}(0)$.
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{(1+x)}\right)^{1+x}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x}
$$
设曲线段 $\widehat{A B}$ 是由函数 $y=f(x)$ 在 $x \in[0,1]$ 上给出, 其中 $A=(0, f(0)), B=$ $(1, f(1)), f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微. 证明: 在 $\overparen{A B}$ 上存在一点 $P(\xi, f(\xi)), \xi \in[0,1]$, 使得 $P$ 点处的切线 $L$ 夹在平行直线 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的线段长度恰巧等于 $\overparen{A B}$ 的弧长.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续, 已知
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=a_0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=a_1, \int_0^1 x^2 f(x) \mathrm{d} x=a_2 .
$$
试计算积分 $\int_0^1\left(\int_0^x\left(\int_0^y f(z) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$.
试求函数 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)$ 的极值.
设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可微, 满足 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+f(x)=0$. 证明:
(i) $f^{\prime}(x)$ 和 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界。
(ii) 进一步有, $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$.