国际奥林匹克竞赛2023年部分试题

导出试卷

国际奥林匹克竞赛2023年部分试题

一、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

1 = d_{1} < d_{2} < \dots < d_{k} = n

是合数

n

的全部正因数，若对任意

1 \leq i \leq k - 2

，均有

d_{i} ∣ d_{i + 1} + d_{i + 2}

，求

n

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2023}

为两两不等的正实数，使得对每个

n = 1, 2, \dots, 2023

，

a_{n} = \sqrt{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}})}

都是一个整数. 求证:

a_{2023} \geq 3034

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设

n

是一个正整数. "日式三角"是将

1 + 2 + \dots + n

个圆排成正二角形的形状，使得对

i = 1, 2, \dots, n

，从上到下的第

i

行恰有

i

个圆且其中恰有一个被染为红色. 在日式三角内，"忍者路径"是指一串由

n

个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直到到达最下面一行的某个圆为止. 下图为一个

n = 6

的日式三角，其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.

求最大的整数

k

(用

n

表示)，使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径，它包含至少

k

个红色圆.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 设

A B C

是一个正二角形. 点

A_{1}, B_{1}, C_{1}

在二角形

A B C

的内部，且满足

B A_{1} = A_{1} C, C B_{1} = B_{1} A, A C_{1} = C_{1} B

，以及

∠ B A_{1} C + ∠ C B_{1} A + ∠ A C_{1} B = 480^{\circ} .

设直线

B C_{1}

与

C B_{1}

交于点

A_{2}

，直线

C A_{1}

与

A C_{1}

交于点

B_{2}

，直线

A B_{1}

与

B A_{1}

交于点

C_{2}

.

求证: 若三角形

A_{1} B_{1} C_{1}

的三边长度两两不等，则三角形

A A_{1} A_{2}, B B_{1} B_{2}

和

C C_{1} C_{2}

的外接圆都经过两个公共点.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。

国际奥林匹克竞赛2023年部分试题

热点推荐

试卷二维码

试卷白板

相关试卷