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设 $x_1, x_2, \cdots, x_{2023}$ 为两两不等的正实数，使得对每个 $n=1,2, \cdots, 2023$ ，
$$
a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}
$$

都是一个整数. 求证: $a_{2023} \geq 3034$.
                        
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