数学试题讲解

设

n

是一个正整数. "日式三角"是将

1 + 2 + \dots + n

个圆排成正二角形的形状，使得对

i = 1, 2, \dots, n

，从上到下的第

i

行恰有

i

个圆且其中恰有一个被染为红色. 在日式三角内，"忍者路径"是指一串由

n

个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直到到达最下面一行的某个圆为止. 下图为一个

n = 6

的日式三角，其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.

求最大的整数

k

(用

n

表示)，使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径，它包含至少

k

个红色圆.