设 $n$ 是一个正整数. "日式三角"是将 $1+2+\cdots+n$ 个圆排成正二角形的形状，使得对 $i=1,2, \cdots, n$ ，从上到下的第 $i$行恰有 $i$ 个圆且其中恰有一个被染为红色. 在日式三角内，"忍者路径"是指一串由 $n$ 个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直到到达最下面一行的某个圆为止. 下图为一个 $n=6$ 的日式三角，其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.
求最大的整数 $k$ (用 $n$ 表示)，使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径，它包含至少 $k$ 个红色圆.
求最大的整数 $k$ (用 $n$ 表示)，使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径，它包含至少 $k$ 个红色圆.