设 $A B C$ 是一个正二角形. 点 $A_1, B_1, C_1$ 在二角形 $A B C$ 的内部，且满足 $B A_1=A_1 C, C B_1=B_1 A, A C_1=C_1 B$ ，以及
$$
\angle B A_1 C+\angle C B_1 A+\angle A C_1 B=480^{\circ} .
$$

设直线 $B C_1$ 与 $C B_1$ 交于点 $A_2$ ，直线 $C A_1$ 与 $A C_1$ 交于点 $B_2$ ，直线 $A B_1$ 与 $B A_1$ 交于点 $C_2$.

求证: 若三角形 $A_1 B_1 C_1$ 的三边长度两两不等，则三角形 $A A_1 A_2, B B_1 B_2$ 和 $C C_1 C_2$ 的外接圆都经过两个公共点.