单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\int_0^{\tan x}\left(\mathrm{e}^{a t^2}-1\right) \mathrm{d} t \sim 2 x^3+b x(x \rightarrow 0)$, 则
$\text{A.}$ $a=6, b=0$
$\text{B.}$ $a=0, b=6$
$\text{C.}$ $a=-6, b=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=-6$
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
设曲线 $L: y=f(x)$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, $f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有一个拐点
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x \cos ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a x+b+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{B.}$ $x(a x+b)+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{C.}$ $a x+b+x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $a x+b+x[(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x]$
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\left|x^2-x\right|}}$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \sqrt{x} \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1+x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{x^2 \mathrm{e}^{-x^2}}{1+x} \mathrm{~d} x$
设 $f(t)=\iint_{x^2+y^2 \leqslant t^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{\mathrm{e}^t-1-t}= $.
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{4}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 及 $\boldsymbol{A}^*$ 都是 $n(n \geqslant 3)$ 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 又 $\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}|=$.
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 0
设 $X_1 \sim N(1,1), X_2 \sim N(2,4)$, 又 $X_3 \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$, 且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, $Z=\left(X_1-1\right) X_3+\left(X_2-2\right)\left(1-X_3\right)$, 则 $P\{Z \geqslant 0\}=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 已知 $k \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 则 $k=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2(n-1)}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n^2+n}\right)=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_{y-x}^{x-y} \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, 1)=0, f_y^{\prime}(x, 0)=\sin x, f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x$, 则 $f(x, y)=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 且 $|\boldsymbol{A}|=3, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a_{13} & a_{12}+2 a_{11} & a_{11} \\ a_{23} & a_{22}+2 a_{21} & a_{21} \\ a_{33} & a_{32}+2 a_{31} & a_{31}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A}=$
设 $X \sim E(\lambda), Y \sim E(\lambda)$ 且 $X, Y$ 相互独立, $Z=\min \{X, Y\}$, 则 $P\{Z>E(Z)\}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n !} x^{2 n}$ 的收敛域与和函数.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 \dot{y}=\mathrm{x}^x+\sin ^2 x$ 的通解.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 3 阶非零矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解向量,且 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\alpha}_3$ 有解.
(I) 求常数 $a, b$;
(II) 求 $\boldsymbol{B X}=\mathbf{0}$ 的通解.
$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0\end{array}\right.$ (其中 $\theta>0$ 为未知参数), $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求参数 $\theta$ 的矩估计量;
(II) 求参数 $\theta$ 的最大似然估计量.