单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)=x|x|+|y|$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
方程 $x^2+b y^2+c z^2=1(b, c$ 为非零常数 $)$ 所对应的曲面 不可能是
$\text{A.}$ 椭球面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 单叶双曲面
$\text{D.}$ 锥面
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
常微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^2}{x+y^2}$ 的类型属于
$\text{A.}$ 可分离变量的微分方程
$\text{B.}$ 齐次方程
$\text{C.}$ 关于 $y=y(x)$ 的一阶线性微分方程
$\text{D.}$ 关于 $x=x(y)$ 的一阶线性微分方程
设函数 $f(x)=1-\frac{x}{\pi}(0 \leq x \leq \pi)$ 以 $2 \pi$ 为周期的余弦函 数的和函数为 $S(x)$ ，则 $S\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ 和 $S(3 \pi)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2},-2$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2},-2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}, 0$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}, 0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{0}=\frac{2 z+1}{\lambda}$ 与 $\pi: x-y+z=0$ 平 行, 则常数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的值为
设函数 $f(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，
$$
f(1,1)=1, f_x^{\prime}(1,1)=a \text { 且 } f_y^{\prime}(1,1)=b ，
$$
则函数 $u(x)=f(x, f(x, x))$ 的微分为
设 $u=\ln \left(1+x y+y z^3\right)$ ，则 $\left.\operatorname{grad} u\right|_{(1,2,1)}=$
二次积分 $\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_x^4 \frac{1}{x \ln y} \mathrm{~d} y$ 的值为
设曲线 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 的 值为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲面 $x^2+x y+e^z=3$ 在点 $(1,1,0)$ 处的切平面 及法线方程.
设函数 $z=f\left(x, 2 x-y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二 阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$
已知函数 $u=x^2+e^y z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 由方程 $x z+\ln (1+y z)=1$ 确定，求函数 $u$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\mathrm{d}=(3,-4)$ 的方向导数.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(2 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中曲面 $\Sigma: z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ， 方向取下侧.
求变力 $\mathrm{F}=\left(x+y-x y, x-y+y^2\right)$ 将质点从原 点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 移动到点 $A(\pi, 0)$ 所做的功.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且
$$
f(0)=1, f^{\prime}(0)=1 \text {. }
$$
假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ，恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算 $I=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由 曲面 $\Sigma:\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^2+y^2$ 所围成的闭区域.
飞行器在发射升空的过程中，由于其表面与空气摩 擦，飞行器的表面温度会发生变化. 设飞行器表面为椭球面， 其方程为 $4 x^2+y^2+4 z^2=16$ ，表面的温度函数为
$$
T=8 x^2+4 y z-16 z+600 .
$$
试确定飞行器表面温度最高和最低的点.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) ! !}+\cdots
$$
的和函数.
(1)求 $S(x)$ 的定义域；
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.