单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
球状网作为一名秘密任务的长官, 你和首席科学家大宝有如下的谈话。
科学家: “长官, 我们已经掌握了球状闪电的控制规律, 我们发现实验室中的球状闪电半径 的变化率 $v(t)$ 满足如下的方程。
$$
v=a r+r^3-r^5
$$
这里 $r(t)$ 表示球状闪电的半径, 而 $t$ 是时间变量。初始时刻, 没有球状闪电, 即 $r(0)=0$ 。相 应地, 我们也有 $v(0)=0$ 。而 $a \in \mathbb{R}$ 可以被人为控制, 您可以通过拉动一个控制杆来迅速的 改变 $a$ 的值。我们给它的预设值是 $a=-1$ 。”
你: “做的漂亮, 博士! $a$ 是我们的唯一控制方式吗? 这似乎并不能把球状闪电启动起 来。”
科学家: “您说的对, 长官。我们的确有另一个控制方式, 就是踢一下仪器。” 你: “博士, 您没开玩笑吧? 踢一下?”
科学家: “没错, 如果踢一下的话, $r(t)$ 的值就会瞬间提高 $\varepsilon(\varepsilon$ 远小于 1$) 。 ”$
你: “明白了, 这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电, 让它的半径严格超 过 $\sqrt{2}$, 再让它逐渐完全消失。”
科学家: “是的, 长官。我们为此设计了四个控制方案。
请问长官您觉得这些方案如何? ”
你看了一下这些选项, 发现其中可行的方案有
$\text{A.}$ 设置 $a=2$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ 设置 $a=3$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{3}$;
$\text{C.}$ 设置 $a=4$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{4}$;
$\text{D.}$ 设置 $a=5$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{5}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
设两个凸八面体 $O_1, O_2$ 的每个面都是三角形, 且 $O_1$ 在 $O_2$ 的内部. 记 $O_1\left(O_2\right)$ 的棱长之 和为 $\ell_1\left(\ell_2\right)$. 当我们计算 $\ell_1 / \ell_2$ 时, 可能得到以下哪个(些)值? (多选题)
$\text{A.}$ 0.64
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 1.44
$\text{D.}$ 1.96
$\text{E.}$ 4
$\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 二人进行 “抽鬼牌” 游戏。游戏开始时, $\mathrm{A}$ 手中有 $n$ 张两两不同的牌。B 手 上有 $n+1$ 张牌, 其中 $n$ 张牌与 $\mathrm{A}$ 手中的牌相同, 另一张为 “鬼牌” , 与其他所有牌都不同。 游戏规则为:
i) 双方交替从对方手中抽取一张牌, A 先从 $\mathrm{B}$ 手中抽取。
ii) 若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致, 则将两张牌丢弃。
iii) 最后剩一张牌 (鬼牌) 时, 持有鬼牌的玩家为输家。
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同, 请问下列 $n$ 中哪个 $n$ 使 $\mathrm{A}$ 的胜率最 大?
$\text{A.}$ $n=31$
$\text{B.}$ $n=32$
$\text{C.}$ $n=999$
$\text{D.}$ $n=1000$
$\text{E.}$ 对所有的 $n, \mathrm{~A}$ 的胜率都一样
某个城市有 10 条东西向的公路和 10 条南北向的公路, 共交于 100 个路口. 小明从某 个路口驾车出发, 经过每个路口恰一次, 最后回到出发点. 在经过每个路口时, 向右转不需 要等待, 直行需要等待 1 分钟, 向左转需要等待 2 分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能 值是 $S$ 分钟, 则
$\text{A.}$ $S < 50$;
$\text{B.}$ $50 \leq S < 90$;
$\text{C.}$ $90 \leq S < 100$;
$\text{D.}$ $100 \leq S < 150$;
$\text{E.}$ $S \geq 150$.
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n \geq 2$ 是给定正整数. 考虑 $n \times n$ 矩阵 $X=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}\left(a_{i, j}=0\right.$ 或者 1$)$ 的集合.
(1) 证明: 存在这样的 $X$ 满足 $\operatorname{det} X=n-1$.
(2) 若 $2 \leq n \leq 4$, 证明 $\operatorname{det} X \leq n-1$.
(3) 若 $n \geq 2023$, 证明存在 $X$ 使得 $\operatorname{det} X>n^{\frac{n}{4}}$.
对实数 $r$, 用 $\|r\|$ 表示 $r$ 和最近的整数的距离: $\|r\|=\min \{|r-n|: n \in \mathbb{Z}\}$.
1. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+1)^n s\right\|=0$ ?
2. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+3)^n s\right\|=0$ ?
某公司要招聘一名员工, 有 $N$ 人报名面试。假设 $N$ 位报名者所具有该职位相关的 能力值两两不同, 且招聘委员会能观察到的能力值排名与其真实能力值排名吻合。委员会决 定采取如下招聘程序:
1. 招聘委员会按随机顺序逐个面试候选人, 且他们能观察到当时所见候选人的相对排 名。比如委员会面试到第 $m$ 位候选人时, 他们拥有的信息是前 $m$ 位面试者的相对排 名, 但不知后 $N-m$ 位候选人的能力情况。
2. 每面试完一位候选人, 委员会需当即决定是否给他/她发工作offer。
3. 如果委员会决定给某位候选者发offer, 那么这位候选者以概率 $p$ 接受, 以概率 $1-p$ 拒 绝, 且独立于(之前) 所有其他面试者的决定。如果该候选人接受offer, 那么委员会将 不再继续面试接下去的候选人。如果该候选人拒绝offer, 那么委员会将继续面试下一 位。
4. 如果委员会决定不给某位面试者发offer, 那么他们将继续面试下一位候选人, 且不能 再回头去找前面已经面试过的人。
5. 反复该面试程序, 直到有候选者接受offer。如果没有候选者接收该工作, 那么委员会 面试完所有的 $N$ 位候选者。
由于 $N$ 位面试者的顺序是完全随机的, 因此他们能力的排名在 $N$ ! 的可能性中是均匀分布。 且委员会所具有的全部信息是当前面试过的候选人的相对排名。委员会的任务是, 在遵守如 上程序的前提下, 找到一个策略, 使得招到 $N$ 位候选者中能力最优者的概率最大化。
问题如下:
(a) 考虑如下策略。委员会先面试前 $m-1$ 位候选者, 不管其能力排名如何, 都不发 工作offer。从第 $m$ 位开始, 一旦看到能力在所面试过候选人中的最优者, 即发工 作offer。如对方拒绝, 则继续面试直到下一位当前最优者 ${ }^1$ 出现。试证明：对于任意 的 $N$, 都存在一个 $m=m_N$, 使得依靠上述策略找到(所有 $N$ 位候选人中) 最优者的概 率值, 在所有可能的策略所给出的概率值中是最大的。
(b) 假设 $p=1$ 。当 $N \rightarrow+\infty$, 求 $\frac{m_N}{N}$ 的极限。
(c) 对一般的 $p \in(0,1)$, 当 $N \rightarrow+\infty$, 求 $\frac{m_N}{N}$ 的极限。