单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
设 $f$ 是连续函数, 积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$, 则 $\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 可化为
$\text{A.}$ $\pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{B.}$ $2 \pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{C.}$ $2 \pi \int_0^1 f(r) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\pi \int_0^1 f(r) d r$
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \mathrm{e}^{x^4}+\cos x\right) \mathrm{d} x=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $z=x^y+y^x$, 则函数在 $(1,1)$ 处的全微分为
$D$ 是由 $y=\mathrm{e}^x, x=0, x=1, y=0$ 所围成区域, 则 $\iint_D \mathrm{~d} \sigma=$
当 $a$ 满足 ________ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{1-2 a}}$ 条件收敛.
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
交换积分次序后 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{y}{x}=-1$ 的通解为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性; 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛.
求微分方程 $\tan x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=5$ 的通解.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
计算 $I=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=10 \sin x$ 的通解.
设某厂生产甲、乙两种产品, 其销售单价分别为 10 万元、 9 万元。若生产 $x$ 件甲 种产品和 $y$ 件乙种产品的总成本为 $C(x, y)=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ 万元。 又已知两种产品的总产量为 100 件, 问两种产品的产量各为多少时, 企业利润最大?
经过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线,该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$, 试证存在 $\xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)+\xi^{\prime}(\xi)=0$.