单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\vec{a}=(-2,-3,1), \vec{b}=(2,0,4), \vec{c}=(-4,-6,2)$ ，则下列结论正确的是 ．
$\text{A.}$ $\vec{a} / / \vec{c}, \vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{B.}$ $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{a} \perp \vec{c}$
$\text{C.}$ $\vec{a} \perp \vec{c}, \vec{b} \perp \vec{c}$
$\text{D.}$ 以上都不对
已知线性相关的两个变量 $x 、 y$ 的取值如表所示，如果其线性回归方程为 $\hat{y}=14 x-20$ ，那么当 $x=7$ 时的离差为
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
东哥发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说＂师傅，给我加 300 元的油＂，而妈妈则说＂师傅帮我把油箱加满＂这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为 $x$ 元／升，第二次加油汽油单价是 $y$ 元／升 $(x \neq y)$ ，妈妈每次加满油箱，需加油 $a$ 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？
$\text{A.}$ 爸爸
$\text{B.}$ 妈妈
$\text{C.}$ 一样
$\text{D.}$ 不确定
若函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=n f^{\prime}(x)$ 在其定义域内恒成立，则称 $f(x)$ 为＂$n$ 级导同函数＂，对＂$n$ 级导同函数＂$f(x)$ 有如下两个命题，则 ，
命题（1）：$f(x)$ 为奇函数的充要条件为 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数
命题（2）：若 $f(x)$ 经过一、二象限，则 $f(x)$ 可能经过三、四象限
$\text{A.}$ （1）（2）都正确
$\text{B.}$ （1）（2）都错误
$\text{C.}$ （1）正确，（2）错误
$\text{D.}$ （1）错误，（2）正确
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\left\{1,2, k^2\right\}, B=\{0,3\}$ ，若 $A \cap B=\{3\}$ ，则实数 $k=$
已知随机变量 $X$ 服从分布 $\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ p & 0.4\end{array}\right)$ ，则 $E[5 X-1]=$
已知点 $P(3,-4)$ 是角 $\alpha$ 终边上一点，则 $\cos 2 \alpha=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 3 公差为 2 的等差数列，则 $\sum_{i=1}^6 a_i=$
若复数 $z$ 满足 $z^2=2 i$（其中 i 是虚数单位），则 $|z+\bar{z}|=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^5, x \geq 1 \\ -x+2, x < 1\end{array}\right.$ ，当 $x < 1$ 时，$f[f(x)]$ 表达式的二项展开式中 $x^2$ 的系数是
将 4 个不同的小球任意放入 3 个不同的盒子中，则每个盒子中至少有 1 个小球的概率为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线过点 $(2, \sqrt{3})$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^2=4 \sqrt{7} x$的准线上，则双曲线的方程为
在 $\triangle A B C$ 中，若 $A B \cdot \sin C=A C \cdot \sin B, \overrightarrow{B C}$ 在 $\overrightarrow{B A}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}$ ，则 $\cos A=$
已知正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的表面积为 16 ，底面边长为 $x$ ，体积为 $V$ ，则当 $x=2$ 时，$V$ 关于 $x$ 的瞬时变化率为
在以点 $(3,2)$ 为圆心， 2 为半径的圆上取任意一点 $P(x, y)$ ，若 $|3 x+4 y+a|+|6-3 x-4 y|$ 的取值与 $x, y$ 无 关，则实数 $a$ 的取值范围是
设 $b \in R$ ，若存在 $\varphi \in R$ 使得 $4 \cos x-\cos (4 x+\varphi) \leq b$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数 $b$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=A \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 两个相邻零点的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ，且 $f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求 $A 、 \omega$ 的值；
（2）设 $g(x)=f(x)-2 \sqrt{3} \cos ^2 x$ ，求 $g(x)$ 的单调递增区间．
如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D, \triangle A D E$ 是正三角形， $E F=2, A B=4, A D=2$ ．
（1）求证：$E F / / A B$ ；
（2）求二面角 $F-B C-D$ 的大小．
某小组为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了 100 名高中生参加数学建模能力竟赛活动，其中男生 40 名，女生 60 名．根据竟赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为＂优秀＂与＂合格＂两级．
（1）若男生和女生中分别有 25 名和 35 名被评为＂优秀＂，是否有 $95 \%$ 的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？
（2）经统计，男生成绩的均值为 80 ，方差为 49；女生成绩的均值为 75 ，方差为 64 ，求全体参赛学生成绩的均值 $\mu$ 及方差 $\sigma^2$ ．
（3）在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，试估计成绩在 $[61,85]$ 范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）．
参考：（1）$\chi^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，其中 $n=a+b+c+d ; P\left(\chi^2 \geq 3.841\right)=0.05$ ；
（2）$\Phi(1)=0.8413, \Phi(2)=0.9772, \Phi(3)=0.9987$ ．
20．已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过 $F_2$ 作直线 $I$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于 $A 、 B$ 两点．
（1）若 $a=2$ ，求 $\triangle A F_1 B$ 的周长；
（2）若 $a=2, b=\sqrt{3}$ ，是否存在直线 $I$ ，使得在 $\triangle A F_1 B$ 为直角三角形？若存在，求直线 $I$ 的方程，若不存在，说明理由；
（3）若存在 $l$ ，使得 $\triangle A F_1 F_2 、 \triangle B F_1 F_2$ 中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆 $\Gamma$ 的离心率的取值范围．
函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，若 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ ，当 $x_1-x_2 \in M$ 时，都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \in M$ ，则称 $f(x)$ 是 $M$ 连续的．
（1）请写出一个函数 $f(x)$ 是 $\{1\}$ 连续的，并判断 $f(x)$ 是否是 $\{n\}$ 连续的 $\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，说明理由；
（2）证明：若 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，则 $f(x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{3\}$ 连续的；
（3）当 $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x)=a x^3+\frac{1}{2} b x+1$ ，其中 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，且 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，求 $a, b$ 的值．