函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，若 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ ，当 $x_1-x_2 \in M$ 时，都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \in M$ ，则称 $f(x)$ 是 $M$ 连续的．
（1）请写出一个函数 $f(x)$ 是 $\{1\}$ 连续的，并判断 $f(x)$ 是否是 $\{n\}$ 连续的 $\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，说明理由；
（2）证明：若 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，则 $f(x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{3\}$ 连续的；
（3）当 $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x)=a x^3+\frac{1}{2} b x+1$ ，其中 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，且 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，求 $a, b$ 的值．