单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
二重极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y}{2 x-y}()$ 。
$\text{A.}$ $=1$ ；
$\text{B.}$ $=-1$ ；
$\text{C.}$ 不存在；
$\text{D.}$ $=0$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f_{x y}(0,0)=$ ．
$\text{A.}$ -1 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ 0 ；
$\text{D.}$ 不存在．
若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，则下面 4 个结论中错误的为 () ．
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任何方向的方向导数都存在；
$\text{B.}$ 方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)} \cdot l$ ；
$\text{C.}$ 方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 在梯度 $\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 方向取最大值；
$\text{D.}$ $\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 正交于曲线 $f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线．
若区域 $D=\left\{(x, y) \mid-x^2 \leqslant y \leqslant x^2,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_D x \ln (4+y) \mathrm{d} \sigma=$
$\text{A.}$ 2 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ -1 ；
$\text{D.}$ 0 ．
设 $\Omega=\{(x, y, z) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，常数 $a>0$ ，则三重积分 $\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{a x y z} \sin (x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的值
$\text{A.}$ $ < 0$ ；
$\text{B.}$ $>0$ ；
$\text{C.}$ $=0$ ；
$\text{D.}$ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 答案都不对．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=x^2 \ln (x y)$ ，则 $\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}=$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-y+z-2 \mathrm{e}^{x y z}=0$ 所确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{(i+j)^3}{n^5}=$
交换积分次序： $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
极限 $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{R^3} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2} \cos \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} V=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数，$v(x)$ 二阶可导，$z=u(x+y$ ， $x y)+v(2 x+3 y)$ ，求 $z_{x y}$
设曲面 $S$ 由方程 $F(x, y, z)=0$ 确定，且 $F_x^2+F_y^2+F_z^2 \neq 0$ ．证明：$S$ 上离坐标原点最近点处的法线过坐标原点．
$z=f(x, y)$ 满足偏微分方程 $3 \frac{\partial z}{\partial x}-2 \frac{\partial z}{\partial y}=0$ ，
（1）在变量替换 $\left\{\begin{array}{l}u=2 x+3 y \\ v=x-y\end{array}\right.$ 下，将上述偏微分方程变形为 $z$ 关于 $u, v$ 的方程；
（2）证明：$z=f(x, y)$ 可以表示为 $z=g(2 x+3 y)$
求函数 $z=\mathrm{e}^{x+y}\left(y+\frac{x^3}{3}\right)$ 的极大值和极小值．
计算二重积分： $\iint_D(x+2 y)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1$
计算： $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-2 \sqrt{1-x^2}}^{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} y \int_{x^2+\frac{1}{4} y^2}^1 \mathrm{e}^{z^2} \mathrm{~d} z$
计算三重积分： $\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega=$
$$
\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant z \leqslant \sqrt{1-x^2-y^2}\right.\right\} .
$$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设常数 $R>0, f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ 上具有连续的二阶偏导数，且 $f(0,0)=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \neq 0$ ．证明：对任意 $0 < r \leqslant R$ ，圆周 $C_r=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=r^2\right\}$ 上必存在点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得 $f\left(x_0\right.$ ， $\left.y_0\right)=0$.