设常数 $R>0, f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ 上具有连续的二阶偏导数，且 $f(0,0)=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \neq 0$ ．证明：对任意 $0 < r \leqslant R$ ，圆周 $C_r=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=r^2\right\}$ 上必存在点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得 $f\left(x_0\right.$ ， $\left.y_0\right)=0$.