单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{|x y|}}{x^2+y^2} \sin \left(x^2+y^2\right) & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 & x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续但不可偏导
$\text{B.}$ 可偏导但不可微
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
函数 $f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}$ 在点 $(0,1)$ 处的梯度等于
$\text{A.}$ i ．
$\text{B.}$ -i ．
$\text{C.}$ j ．
$\text{D.}$ -j ．
若 $\sum$ 是锥面 $x^2+y^2=z^2$ 被平面 $z=0$ 与 $z=1$ 所截下的部分，则曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) d S=
$$
$\text{A.}$ $\int_0^\pi d \theta \int_0^1 r^2 \cdot r d r$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r^2 \cdot r d r$ ；
$\text{C.}$ $\sqrt{2} \int_0^\pi d \theta \int_0^1 r^2 \cdot r d r$ ；
$\text{D.}$ $\sqrt{2} \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r^2 \cdot r d r$.
已知 $\frac{a x+y}{x^2+y^2} d x-\frac{x-y+b}{x^2+y^2} d y$ 在右半平面 $(x>0)$ 是函数 $u(x, y)$ 的全微分，$a, b$ 的值为
$\text{A.}$ $a=1, b=0$ ；
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$ ；
$\text{C.}$ $a=0, b=1$ ；
$\text{D.}$ $a=0, b=-1$ ．
设 $0 \leq u_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则下列级数中必定收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \boldsymbol{u}_n$
$\text{B.}$ $\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \boldsymbol{u}_n$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{u_n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n^2$
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 是二阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$的解，$C_1, C_2$ 是任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解是 ．
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ；
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+y_3$ ；
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$ ；
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^2}{x+y}}=$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $e^{2 y z}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 确定的函数 $\left.d z\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$
设 $L$ 为圆 $x^2+y^2=1$ ，则闭曲线积分 $\oint_L\left(8 x y+2 x^2+6 y^2\right) d s=$
设 $L$ 为由点 $\mathrm{A}(-1,1)$ 沿抛物线 $y=x^2$ 到点 $\mathrm{B}(1,1)$ 的一段弧，则曲线积分 $\int_L\left(x^2-2 x y\right) d x+\left(y^2-2 x y\right) d y$ 的值为
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{-x}, & -\pi \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x < \pi\end{array}\right.$ ，则其以 $2 \pi$ 为周期的傅立叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
将函数 $f(x)=\frac{1}{2-x-x^2}$ 展开成幂级数
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(x+\varphi(x-y), y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$\varphi$ 有二阶导数，求 $d z$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，在点 $(1,-2,1)$ 的切线和法平面方程．
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0 . y \geq 0\right\}$ ．计算二重积分： $\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} d x d y$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{3^n n}$ 的收敛域与和函数．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=8\left(1+e^{2 x}\right)$ 的通解．
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+\left[y f(y z)+y^3\right] d z d x+\left[z^3-z f(y z)\right] d x d y$ ，其中函数 $f$ 有连续的导函数，$\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧．
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ．求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
设 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$ ，其中 $t>0$ ．已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，
又设 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z$.
（1）求证：$F(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，并求 $F^{\prime}(t)$ 的表达式；
（2）设 $f(0) \neq 0$ ，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{1-\lambda} F^{\prime}\left(\frac{1}{n}\right)$ 在 $\lambda>0$ 时收敛，$\lambda \leq 0$ 时发散．