设 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$ ，其中 $t>0$ ．已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，
又设 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z$.
（1）求证：$F(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，并求 $F^{\prime}(t)$ 的表达式；
（2）设 $f(0) \neq 0$ ，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{1-\lambda} F^{\prime}\left(\frac{1}{n}\right)$ 在 $\lambda>0$ 时收敛，$\lambda \leq 0$ 时发散．