单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在．
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^h\right)$ 存在．
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在．
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，则下列命题错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}=1$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x=a$
$\text{A.}$ 不连续．
$\text{B.}$ 连续但不可导 ．
$\text{C.}$ 一定可导 ．
$\text{D.}$ 是否可导与 $a$ 的取值有关 ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内连续，且 $f(a)$ 为其极大值，则存在 $\delta>0$ ，当 $x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有（ ）
$\text{A.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \geqslant 0$ ．
$\text{B.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \leqslant 0$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2}>0(x \neq a)$ ．
$\text{D.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} < 0(x \neq a)$ ．
设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值．
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值．
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
曲线 $y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1 条．
$\text{B.}$ 2 条．
$\text{C.}$ 3 条．
$\text{D.}$ 4 条．
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的曲率半径是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{50}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{100}$ ．
$\text{C.}$ $10 \sqrt{10}$ ．
$\text{D.}$ $5 \sqrt{10}$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $\mathrm{d} y=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$ ，则 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=$
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
函数 $f(x)=x^2 2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\mathrm{e}^t \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为
曲线 $x+y+\mathrm{e}^{2 x y}=0$ 在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为
已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^3$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$ ．若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_0$ ，求当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，$l$ 对时间的变化率
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 所确定，试求 $y=y(x)$ 的驻点，并判别它是否为极值点．
设 $x \in(0,1)$ ，证明：
（ I ）$(1+x) \ln ^2(1+x) < x^2$ ；
（II）$\frac{1}{\ln 2}-1 < \frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ ．
讨论曲线 $y=4 \ln x+k$ 与 $y=4 x+\ln ^4 x$ 的交点个数．
设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元／件，价格函数为 $p=60-\frac{Q}{1000}$ （ $p$ 是单价，单位：元；$Q$ 是销量，单位：件）．已知产销平衡，求：
（I）该商品的边际利润；
（II）当 $p=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义；
（III）使得利润最大的定价 $p$ ．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) < 0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(1)=1$ ．证明：
（I）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ；
（ II ）存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ 。
试证：当 $x>0$ 时，$\left(x^2-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^2$ ．