解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, n a_{n+1}=(n+1) a_n+n(n+1), n \in N^{+}$．
（1）证明：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_n=3^n \cdot \sqrt{a_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2,2 a_{n+1}+a_n a_{n+1}-2 a_n=0\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=(-1)^n \frac{8}{\left(4 n^2-1\right) a_n},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$-1 < S_{2 n} \leq-\frac{4}{5}$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2^{a_{n+1}}=2^{a_n}+2^{\log _4 8}, n \in \mathbf{N}^*$ ，且 $a_1=\frac{3}{2}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
（2）是否存在正整数 $n$ ，使得 $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ 等差数列？若存在，求出 $n$ 的值；若不存在，请说明理由．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $b a_n-2^n=(b-1) S_n$ ．
（1）证明：当 $b=2$ 时，$\left\{a_n-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是等比数列；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=\frac{3}{5}, a_{n+1}=\frac{3 a_n}{2 a_n+1}, n=1,2, \cdots$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对任意的 $x>0, a_n \geqslant \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\left(\frac{2}{3^n}-x\right), n=1,2, \mathrm{~L}$ ；
（3）证明：$a_1+a_2+...+a_n>\frac{n^2}{n+1}$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{2 a_n}{4-a_n}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=2 a_n-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 $a_n$ ；
（2）若 $b_n=a_n+n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．