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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2^{a_{n+1}}=2^{a_n}+2^{\log _4 8}, n \in \mathbf{N}^*$ ，且 $a_1=\frac{3}{2}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
（2）是否存在正整数 $n$ ，使得 $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ 等差数列？若存在，求出 $n$ 的值；若不存在，请说明理由．
                        
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