单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$ ．
$\text{B.}$ $r < n$ ．
$\text{C.}$ $r \geqslant n$ ．
$\text{D.}$ $r>n$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充分条件是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性相关．
设 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2个向量，则 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3．
非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中末知旺个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则
$\text{A.}$ $r=m$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解。
$\text{B.}$ $r=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解．
$\text{C.}$ $m=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解．
$\text{D.}$ $r < n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0, \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵记为 $\boldsymbol{A}$ ．若存在三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ 且 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{B.}$ $\lambda=-2$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $\lambda=1$ 且 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ $\lambda=1$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$ ．
矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 的秩为 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=m < n, \boldsymbol{E}_m$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意 $\boldsymbol{m}$ 个列向量必线性无关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 通过初等行变换，必可以化为 $\left(\boldsymbol{E}_m, \boldsymbol{O}\right)$ 的形式。
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 一定有无穷多组解．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多个解．
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多个解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有笭解．
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多个解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解．
$\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解．
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解．
$\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解．
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*} \neq \boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3, \boldsymbol{\xi}_4$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系
$\text{A.}$ 不存在．
$\text{B.}$ 仅含一个非零解向量．
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量。
$\text{D.}$ 含有三个线性无关的解向量．
设有三张不同平面的方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3$ ，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=d_i(i=1,2,3)
$$
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $\boldsymbol{A}, \overline{\boldsymbol{A}}$ ，则
$\text{A.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ ．
$\text{C.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=1, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=1, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=1$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0, \\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 只有零解，则 $\lambda$ 应满足的条件是
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为3阶矩阵．若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，且 $\boldsymbol{\alpha}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则线性方程组 $A x=0$ 的通解为
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解，则 $a=$
设方程 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 有无穷多解，则 $a=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1-x_2+4 x_3-3 x_1=-4, \\ x_1+x_3-x_4=-3, \\ 3 x_1+x_2+x_3=1, \\ 7 x_1+7 x_3-3 x_4=3 .\end{array}\right.$
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1,\end{array}\right.$ 有唯一解？无解？有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解．