单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $0,1,0,1,1$ 是来自 $0-1$ 分布总体 $B(1, p)$ 的样本观察值，则 $p$ 的矩估计为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$ ．
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^2$ 的无偏估计量
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ．
假设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$X_1, \cdots X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ 。已知 $\hat{\lambda}=a \bar{X}+(2-3 a) S^2$ 为 $\lambda$ 的无偏估计，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ 0 ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1 ．
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma^2$ 已知，则总体均值 $u$ 的置信区间长度 $L$ 与置信度 $1-\alpha$ 的关系是
$\text{A.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 变小。
$\text{B.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 增大．
$\text{C.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 不变．
$\text{D.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 增减不定．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-(x-\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x < \theta .\end{array}\right.$ 而 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自区间 $[-a, a]$ 上均匀分布的总体 $X$ 的简单随机样本，则参数 $a$ 的矩估计量为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim U[\theta, \theta+2]$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体为 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 $f(x)= \frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}},(-\infty < x < +\infty, \lambda>0)$ ，则 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X$ 具有分布律
其中 $\theta(0 < \theta < 1)$ 为末知参数．已知取得样本值 $x_1=1, x_2=2, x_3=1$ ，试求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(\theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, \theta>-1, X_1, X_2, \cdots, X_n\right.$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，求 $\theta$ 的矩估计量及最大似然估计量．
设来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，总体 $X$ 的概率分布
$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 2 \\
2 \theta & \theta & 1-3 \theta
\end{array}\right)
$$
其中 $0 < \theta < \frac{1}{3}$ ，求未知参数 $\theta$ 的矩估计量．
设总体 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的最大似然估计且 $\hat{\theta}=
设随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2, \cdots N\}$ 上等可能分布，求 $N$ 的最大似然估计量．
设由来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$ 容量为 9 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是多少
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\lambda^2 x \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（I）求参数 $\lambda$ 的矩估计量；
（II）求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量．