单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
在 $(-\infty,+\infty)$ 内，函数 $f(x)=x \cos x$ 是（ ）．
$\text{A.}$ 单调的
$\text{B.}$ 有界的
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 奇函数
关于曲线 $y=\frac{x^3+1}{x^3-1}$ 的渐近线，下列选项正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 有水平渐近线与铅直渐近线
$\text{B.}$ 有铅直渐近线与斜渐近线
$\text{C.}$ 只有铅直渐近线
$\text{D.}$ 有铅直、水平和斜渐近线
下列说法错误的是（ ）．
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则函数在该点处可导
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则一定在该点处连续
$\text{C.}$ 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，则一定在该点处可导
$\text{D.}$ 如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上可积，则在该区间上一定有界
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，一则下列结论正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]=f(x)+C$
$\text{B.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{C.}$ $\left[\int_1^x f(t) \mathrm{d} t\right]^{\prime}=f(\underset{\sim}{x})$
$\text{D.}$ $\left(\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}=f(x)$
对于微分方程 $\left(x^2+1\right) y^{\prime \prime}=2 x y^{\prime}$ ，下列哪个函数是它的通解
$\text{A.}$ $y=C_1\left(x^3+x\right)+C_2$
$\text{B.}$ $y=C_1\left(\frac{x^3}{3}+x\right)+C_2$
$\text{C.}$ $y=C_1\left(\frac{x^3}{3}+x\right)+2$
$\text{D.}$ $y=\frac{x^3}{3}+x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\ln \frac{x}{x-1}+\arcsin \frac{x}{2}$ 的定义域为
设 $y=\mathrm{e}^{x^2}$ ，则微分 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \mathrm{e}^{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t+\cos x-1}{x \tan x}=$
$\int_{-2}^2(\sin x+1) \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x=$
曲线 $y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{-x^2 / 2}$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y(x)$ 由方程 $x \cos y+\ln (1+y)=\sin 2 x$ 确定，求 $y^{\prime}(0)$ 和 $y^{\prime \prime}(0)$
已知函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1, \\ y=t^3-3 t+2,\end{array}\right.$ 确定，求函数 $y(x)$ 的极值点和极值．
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$
设曲线 $y=y(x)$ 过点 $(2,0)$ ，且函数 $y(x)$ 满足等式 $x y^{\prime}(x)-y(x)=x^5+x^3$ ，求该曲线的凹凸区间与拐点坐标。
求微分方程 $\frac{2 x}{y} \mathrm{~d} x-\frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} y=0(x>0)$ 满足 $y(1)=1$ 的解．
判断函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}+\int_x^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]$ ．
设 $D$ 是曲线 $f(x)=4-x^2(0 \leq x \leq 2)$ 和该曲线段上点 $(a, f(a))(0 \leq a \leq 2)$ 处的切线，$y$轴与直线 $x=2$ 所围成的图形．
（1）求区域 $D$ 的面积．
（2）试问 $a$ 取何值时，$D$ 的面积取得最小值，并求此时的面积．
求方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 内二阶可导，且存在 $c \in(a, b)$ 满足 $f(a)=f(c) =f(b)=0$ ．证明：
（1）存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ 且 $\xi_1 < \xi_2$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)-f\left(\xi_1\right)=f^{\prime}\left(\xi_2\right)-f\left(\xi_2\right)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ．