填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos (n \pi x)}{n^{a x}}$ 关于 $x \in(2, \infty)$ 一致收敛．求实数 $a$ 的取值范围．
计算积分 $\int_0^{\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^4}\right)^2 \mathrm{~d} x$ ．
求曲面 $z=x y$ 落在 $x^2+y^2 \leq 1$ 那一部分的面积．
已知椭圆 $C=\left\{(x, y) \mid x^2+4 y^2=16\right\}$ ，方向取逆时针，计算曲线积分
$$
\int_C\left(\frac{x y^2}{x^2+2 y^2+1}-y\right) \mathrm{d} x+\left(x+\frac{x^2 y}{x^2+2 y^2+1}\right) \mathrm{d} y .
$$
求 $\sin \ln x$ 在 $x=1$ 处带 Peano 余项的四阶 Taylor 展开式
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x) \in C[0,1]$ 在 $(0,1)$ 上二阶可导，$f(0)=f(1)=0, f(1 / 2)=1 / 4$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=-2$ ．
已知 $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}$ 。证明 $\zeta(x)$ 在 $(1, \infty)$ 上任意阶导数存在，并判断
$$
\int_1^{\infty}(\zeta(x)-1) \mathrm{d} x
$$
的敛散性．
$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iint_{x^2+x y+y^2 \geq \varepsilon^2} \frac{1}{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 并说明计算过程的合理性．