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已知 $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}$ 。证明 $\zeta(x)$ 在 $(1, \infty)$ 上任意阶导数存在，并判断

$$
\int_1^{\infty}(\zeta(x)-1) \mathrm{d} x
$$


的敛散性．
                        
不再提醒