单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=\mathrm{e}^{3 x}$ 满足初始条 $y(0)=y^{\prime}(0)=$ 0 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ ，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在．
$\text{B.}$ 等于 1 ．
$\text{C.}$ 等于 2 ．
$\text{D.}$ 等于 3 ．
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x \ln 2$ ．
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{2 x} \ln 2$ ．
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^x+\ln 2$ ．
$\text{D.}$ $e^{2 x}+\ln 2$ ．
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$ ．
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$ ．
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ．
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ．
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ．
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ．
（数 1）设曲线积分 $\int_L\left[f(x)-\mathrm{e}^x\right] \sin y \mathrm{~d} x-f(x) \cos y \mathrm{~d} y$ 与路径无关，其中 $f(x)$具有一阶连续导数，且 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}-1$ ．
$\text{D.}$ $1-\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ．
函数 $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-2 x}+x \mathrm{e}^x$ 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$ ．
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime}=a x^2+b x+c+A \sin x$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime}=a x^2+b x+c+A \cos x$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=\mathrm{e}^{i x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left(\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)$ ．
$\text{B.}$ $a x\left(\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda . x}\right)$ ．
$\text{C.}$ $x\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
$\text{D.}$ $x^2\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\mathrm{e}^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{B.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{C.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
设 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^x$的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$ ．
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$ ．
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$ ．
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y= f(x)$ 的解，$C_1, C_2$ 是任意常数，则该非齐次方程的通解是
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+y_3$ ．
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$ ．
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ．
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ．
（数 1，2）在下列微分方程中，以 $y=C_1 \mathrm{e}^{\mathrm{r}}+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
（数 1，2）具有特解 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_3=3 \mathrm{e}^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．