单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}-\mathrm{e}^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
设函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{|\cos x|}=1$ ，则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f^{\prime}(x)=1$ ．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的左导数为 1 ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的右导数为 1 ．
设 $a \neq 0$ ，则下列关于曲线 $l_1: y_1=\mathrm{e}^{a x}$ 和曲线 $l_2: y_2=\frac{1}{1+a x^2}+a x$ 的说法中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 不论 $a$ 为何值，直线 $y=a x+1$ 必为 $l_1$ 与 $l_2$ 的公切线．
$\text{B.}$ 曲线 $l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径与 $a$ 有关．
$\text{C.}$ 当 $a=2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
$\text{D.}$ 当 $a=-2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
设 $D$ 是由曲线 $2 x y=1$ 与直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 所围成的封闭区域，已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{B.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{C.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{D.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}(x+y)^2 \sin \frac{1}{x+y}, & x+y \neq 0, \\ 0, & x+y=0,\end{array}\right.$ 则下列说法中，错误的是 $($ $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 连续．
$\text{B.}$ 当 $x+y=0$ 时，$f_x^{\prime}(x, y)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．
设3维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_1=t \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=(t-1) \boldsymbol{\alpha}_1+t \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3= (t-1) \boldsymbol{\alpha}_2+t \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，则 $t \neq 0$ 是 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系的
$\text{A.}$ 充分不必要条件．
$\text{B.}$ 必要不充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既不是充分条件，也不是必要条件．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right), \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均可逆，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 不相似但合同．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 既相似又合同．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 不相似但合同．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 不相似但合同．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 可经正交变换化为标准形 $2 a y_1^2 -3 b y_2^2$ ，则下列选项中为 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形是
$\text{A.}$ $y_1^2$ ．
$\text{B.}$ $-y_1^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 f\left(\frac{2}{x}\right)=x^2-\frac{1}{x^2}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt[3]{t-\frac{\pi}{4}} \sin 2 t \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值点为 $x=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
设函数 $z(x, y)$ 由方程 $\ln z+y z+\cos x=2$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
设函数 $f_n(x)=c_n x^{2 n} \mathrm{e}^{-\pi x^2}$ ，且满足 $\int_0^{+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ，其中 $c_n$ 为仅与 $n$ 有关的数．若 $c_0=1$ ，则 $c_4=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & t & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 相似于实对角矩阵，则 $t$ 的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二元函数 $z(x, y)$ 有连续的偏导数，且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=x\left(\mathrm{e}^y-1\right), z(x, 0)=0, z(0, y)=\frac{y^2}{2}-y$ ，求 $z(x, y)$ 的极值．
设区域 $D$ 由曲线 $x^3+y^3-6 x y=0(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 围成．
（I）求 $D$ 的面积；
（II）若 $D$ 的形心的横坐标 $\bar{x}=a$ ，求 $\int_0^{+\infty} \frac{t^4}{\left(1+t^3\right)^3} \mathrm{~d} t$ ，结果用 $a$ 表示．
设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(1-x)=1-f(x)$ ，且 $\int_0^\pi\left[f(x)+(1+x) f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=-2$ ，求 $f(x)$ ．
证明：当 $0 < x \leqslant 1$ 时， $0 < \frac{1}{\arcsin x}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \leqslant \frac{2}{\pi}$ ．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=\frac{1}{2}$ ，且对所有正整数 $n, \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x_n}+\frac{1}{3-x_n}\right)$ ．
（I）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值；
（II）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^{-n} \prod_{i=1}^n\left(3-x_i\right)$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ，不同于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的向量 $\boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$ ，向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\gamma} =\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}$ ．求与 $\boldsymbol{A}^n(n \geqslant 2)$ 相似的对角矩阵．