判断题 （共 4 题 ）
若 $\forall n \in N ^{+}, \exists \delta>0, \forall x \in\left(x_0-\delta, x_0\right) \cup\left(x_0, x_0+\delta\right),|f(x)-A| < \frac{1}{\sqrt{n}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
任何数列必有收敛子列．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上一致连续，则 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $D(x)$ 为狄利克雷函数，则存在函数 $F(x)$ ，使得 $F^{\prime}(x)=D(x)$ ．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n+1}\right)^n$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{3}}-1}{\ln (1+x)}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．
计算 $f^{\prime}(x)$ ，其中 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2 \cos \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ．
证明题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明： $\tan x+\sin x>2 x, \forall x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
研究 $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}$ 有哪些极值？若是最值也请指出．
设 $a_n=\sin 1+\frac{\sin 2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{n^2}$ ，证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛
设 $f$ 是在开区间 $I$ 上的凸函数，$g$ 是在开区间 $J$ 上的严格单调凸函数，$f(I) \subset J$ ，若 $g \circ f$ 在 $I$ 上存在最大值，证明：$f$ 是常值函数．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一阶连续可导，在 $(a, b)$ 上二阶可导且存在一个极值点，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $|f(b)-f(a)| \leq \frac{(b-a)^2}{2}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ，证明：$f(x)$ 必在 $(-\infty,+\infty)$ 上存在最值．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且 $f(x)$ 不是线性函数，证明：存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, ~ f^{\prime}\left(\xi_2\right) < \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$