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国防科技大学朱健民课件讲义第6章-共形映射

发布日期 2025/8/26 16:39:48      查看 4      加入组卷      查看作者     
单选题
下列区域中，使函数 $f(z)=e^{2 i z}$ 单叶解析的区域是（ ）．
$\text{A.}$ $0 < \operatorname{Re} z < \pi$ $\text{B.}$ $0 < \operatorname{Im} z < \pi$ $\text{C.}$ $\pi < \operatorname{Re} z < 3 \pi$ $\text{D.}$ $\pi < \operatorname{Im} z < 3 \pi$
下列函数中，在单位圆盘 $|z| < 1$ 内非单叶解析的函数是（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{Z}{(1+Z)^2}$ $\text{B.}$ $\frac{z^2}{1+z}$ $\text{C.}$ $\frac{Z}{1+Z}$ $\text{D.}$ $\frac{Z}{1+Z^2}$
若映射 $W=z^2+2 z$ 在 $z$ 平面上区域 $D$ 的每一点局部收缩，那么区域 $D$ 是（ ）．
$\text{A.}$ $|z| < \frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $|z+1| < \frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $|z|>\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $|z+1|>\frac{1}{2}$
映射 $W=\frac{3 z-i}{z+i}$ 在 $z_0=2 i$ 处的旋转角为（其中 $k$ 为任何整数）（）。
$\text{A.}$ $2 k \pi$ $\text{B.}$ $\left(2 k+\frac{1}{2}\right) \pi$ $\text{C.}$ $(2 k+1) \pi$ $\text{D.}$ $\left(2 k-\frac{1}{2}\right) \pi$
设 $z=g(w)$ 为函数 $w=f(z)=\frac{z}{1+z^2}$ 在单位圆盘 $|z| < 1$ 内的反函数，则 $g^{\prime}(\sqrt{2} i)$ 的值为
$\text{A.}$ $i$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} i$ $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
在映射 $W=i z+e^{\frac{\pi}{4} i}$ 下，区域 $\operatorname{Im} z < 0$ 的像为（）．
$\text{A.}$ $\operatorname{Re} w>\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{B.}$ $\operatorname{Re} w>-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{C.}$ $\operatorname{Im} w>\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{D.}$ $\operatorname{Im} w>-\frac{\sqrt{2}}{2}$
下列表述中，正确的表述是（ ）。
$\text{A.}$ $W=Z^n$ 在复平面上处处保角（此处 $n$ 为自然数） $\text{B.}$ 映射 $w=z^3+4 z$ 在 $z=0$ 处的伸缩率为零 $\text{C.}$ 若 $W=f_1(z)$ 与 $W=f_2(z)$ 是同时把单位圆 $|z| < 1$ 映射到上半平面 $\operatorname{Im} W>0$ 的分式线性变换，那么 $f_1(z)=f_2(z)$ $\text{D.}$ 函数 $W=\bar{Z}$ 构成的映射保持角的大小不变，但方向相反
点 $1+i$ 关于圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ 的对称点是（ ）．
$\text{A.}$ $6+i$ $\text{B.}$ $4+i$ $\text{C.}$ $-2+i$ $\text{D.}$ $i$
将点 $Z=1, i,-1$ 分别映射为点 $W=\infty,-1,0$ 的分式线性变换为（ ）．
$\text{A.}$ $W=\frac{z+1}{z-1}$ $\text{B.}$ $W=\frac{Z+1}{1-Z}$ $\text{C.}$ $W=i \frac{Z+1}{1-Z}$ $\text{D.}$ $W=i \frac{Z+1}{Z-1}$
分式线性变换 $W=\frac{2 z-1}{2-z}$ 把圆周 $|z|=1$ 映射为 ．
$\text{A.}$ $|W|=1$ $\text{B.}$ $|w|=2$ $\text{C.}$ $|w-1|=1$ $\text{D.}$ $|w-1|=2$
分式线性变换 $W=\frac{Z+1}{1-Z}$ 将区域 $D:|z| < 1, \operatorname{Im} z>0$ 映射为 $W$ 平面上的区域（）。
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{2} < \arg W < \pi$ $\text{B.}$ $-\frac{\pi}{2} < \arg w < 0$ $\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} < \arg W < \pi$ $\text{D.}$ $0 < \arg w < \frac{\pi}{2}$
设 $a, b, c, d$ 为实数且 $a d-b c < 0$ ，那么分式线性变换 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ 把上半平面映射为 $w$ 平面的（ ）．
$\text{A.}$ 单位圆内部 $|W| < 1$ $\text{B.}$ 单位圆外部 $|w|>1$ $\text{C.}$ 上半平面 $\operatorname{Im} w>0$ $\text{D.}$ 下半平面 $\operatorname{Im} W < 0$
把上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 映射成圆域 $|W| < 2$ 且满足 $W(i)=0, W^{\prime}(i)=1$ 的分式线性变换为 （ ）．
$\text{A.}$ $W=2 i \frac{i-z}{i+z}$ $\text{B.}$ $W=2 i \frac{z-i}{z+i}$ $\text{C.}$ $w=2 \frac{i-z}{i+z}$ $\text{D.}$ $w=2 \frac{z-i}{z+i}$
把单位圆 $|z| < 1$ 映射成单位圆 $|W| < 1$ 且满足 $w\left(\frac{i}{2}\right)=0, w^{\prime}(0)>0$ 的分式线性变换为 （ ）．
$\text{A.}$ $w=\frac{2 z-i}{2-i z}$ $\text{B.}$ $w=\frac{i-2 z}{2-i z}$ $\text{C.}$ $w=\frac{2 z-i}{2+i z}$ $\text{D.}$ $w=\frac{i-2 z}{2+i z}$
若分式线性映射 $w=\frac{a z+b}{c z+d}(a d-b c \neq 0)$ 将 $z$ 平面上的单位圆 $|z|=1$ 映成 $w$ 平面上的直线，则有 ）．
$\text{A.}$ $|a|=|b|$ $\text{B.}$ $|a|=|c|$ $\text{C.}$ $|c|=|d|$ $\text{D.}$ $|b|=|d|$
填空题
映射 $W=e^{i z^2}$ 在点 $z_0=i$ 处的伸缩率为 $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=\sin (\pi z)$ 在圆盘 $|z| < r$ 内是保角的，则 $r$ 的最大值是 $\qquad$ ．
映射 $w=f(z)$ 的不动点 $z_0$ 是满足 $f\left(z_0\right)=z_0$ 的点，则映射 $w=\frac{6 z-9}{z}$ 的不动点为 $\qquad$ ．
若分式线性映射 $W=f(z)$ 将 $\infty, i, 0$ 分别映射成 $0,1, \infty$ ，则该映射将 $z=\frac{i}{2}$ 映射成 $\qquad$ ．
判断题
函数 $f(z)=z^2+2 z$ 为单位圆盘 $|z| < 1$ 内的单叶解析函数．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且 $f^{\prime}(z) \neq 0(\forall z \in D)$ ，则 $f(z)$ 在是 $D$ 内的单叶函数。（ ）
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
存在单位圆盘 $|z| < 1$ 内的解析函数 $W=f(z)$ ，它将 $|z| < 1$ 映射成 $|z| \leq 1$ 。
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$

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