试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 之极限： $a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}(a>0)$ 。
试求下列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^\alpha-n^\alpha\right](0 < \alpha < 1)$ 。
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)^2$ ．
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{(1+a) \cdots\left(1+a^n\right)}(a>0)$ ．
（4）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!}$ ．
试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ：
（1）$a_n=\sqrt[n]{2 \sin ^2 n+\cos ^2 n}$ ．
（2）$a_n=(n+1+n \cos n)^{1 /(2 n+n \cdot \sin n)}$ ．
（3）$a_n=n^{p / n^k}(p, k \in N )$ 。
试求下述（和式）数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ：
（1）$a_n=\frac{1}{n^n} \sum_{k=1}^n k^k$ ．
（2）$a_n=\left(\sum_{k=1}^m a_k b_k^n\right)^{1 / n}\left(a_k, b_k>0\right)$ ．
（3）$a_n=\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n k^n} / n$ 。
（4）$a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{(n x+k)(n x+k+1)}(x>0)$ ．
解答下列问题：
（1）设 $a_1+a_2+a_3=0$ ，试论 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n\left(I_n=a_1 \sqrt{n}+a_2 \sqrt{n+1}+a_3 \sqrt{n+2}\right)$ 。
（2）试定 $a, b, c$ 之值，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=2\left(I_n=n\left(a n+\sqrt{2+b n+c n^2}\right)\right.$ 。
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_1 a_1^{n+1}+p_2 a_2^{n+1}+\cdots+p_k a_k^{n+1}}{p_1 a_1^n+p_2 a_2^n+\cdots+p_k a_k^n}=a_{k_0} \triangleq \max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}\left(a_i>0\right.$, $\left.p_i>0(i=1,2, \cdots, k)\right)$.
试论数列 $a_{n+1}=A a_n+B(n \in N , B \neq 0)$ 的敛散性。
试证明下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 不收敛：
（1）$\{\tan n\}$ ．
（2）$\left\{\sin 4^n\right\}$ ．