单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $2 \sin ^{2} \theta-3 \sin \theta-2=0, \theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\cos \theta$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
若 $\frac{\sin \alpha+2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha-\sin \alpha}=\frac{5}{16}$ ，则 $\tan \alpha=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 3
在 $\triangle A B C$ 中， $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$
$\text{A.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{30}$
$\text{C.}$ $\sqrt{29}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
已知 $\alpha 、 \beta \in(0, \pi)$ 且 $\tan \alpha=\frac{1}{2}, \cos \beta=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\alpha+\beta=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
把函数 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象，则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7 \pi}{12}\right)$
$\text{B.}$ $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(2 x-\frac{7 \pi}{12}\right)$
$\text{D.}$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$
已知 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$（ ）
$\text{A.}$ $-\frac{7}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{C.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{24}{25}$
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 上恰好取到一次最大值与一次最小值，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $(4,7]$
$\text{B.}$ $[4,7)$
$\text{C.}$ $(7,10]$
$\text{D.}$ $[7,10)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列区间中，满足函数 $f(x)=7 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 单调递增的区间是（ ）
$\text{A.}$ $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$
已知 $\tan (\alpha+\beta)=\tan \alpha+\tan \beta$ ，其中 $\alpha \neq \frac{k \pi}{2} \quad(k \in \mathbf{Z})$ 且 $\beta \neq \frac{m \pi}{2} \quad(m \in \mathbf{Z})$ ，则下列结论一定正确的是
$\text{A.}$ $\sin (\alpha+\beta)=0$
$\text{B.}$ $\cos (\alpha+\beta)=1$
$\text{C.}$ $\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\beta}{2}=1$
$\text{D.}$ $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right) \tan B=\sqrt{3} a c$ ，则 $B$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
已知函数 $f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，则下列说法正确的有（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$ 中心对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递减
$\text{D.}$ 将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，可以得到 $g(x)=\cos 2 x$ 的图象
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin \alpha=$ $\qquad$ ．
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 b \cdot \cos C=2 a+c$ ．若 $b=4$ ，则 VABC 的外接圆半径为 $\qquad$。
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $\alpha, \beta$ 的终边分别与单位圆交于点 $A, B$ ，若直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\alpha+\beta)$ ＝ $\qquad$ ．
已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 则 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \cos B=b(1+\cos A)$ ．
（1）证明：$A=2 B$ ；
（2）若 $c=2 b, a=\sqrt{3}$ ，求 $V A B C$ 的面积．
已知函数 $f(x)=\sin \left(\frac{5 \pi}{6}-2 x\right)-2 \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期及对称轴方程；
（2）$x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right]$ 时，$g(x)=a f(x)+b$ 的最大值为 7 ，最小值为 1 ，求 $a, b$ 的值．
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\frac{\sqrt{3} c}{b \cos A}-\tan A=\sqrt{3}$ ．
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $\sin A \sin C=\frac{9}{13}$ ，设 $V A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $S=3 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的值．
设 $\triangle A B C$ 内角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c \sin C}{a}-\sin C=\frac{b \sin B}{a}-\sin A, b=4$ ．
（1）求角 $B$ 的大小
（2）若 $c=\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边长依次是 $a, b, c, b=2 \sqrt{3}, \sin ^{2} A+\sin ^{2} C+\sin A \sin C=\sin ^{2} B$ ．
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）当 $\triangle A B C$ 面积最大时，求 $\angle B A C$ 的平分线 $A D$ 的长．