单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布
设 $X \sim N(a, 2), Y \sim N(b, 2)$ 且 $X, Y$ 独立，分别在 $X 、 Y$ 中取容量为 $m$ 和 $n$ 的简单随机样本，样本方差分别记为 $S_X^2$ 和 $S_Y^2$ ，则 $T=\frac{1}{2}\left[(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2\right]$ 服从（ ）分布。
$\text{A.}$ $t(m+n-2)$
$\text{B.}$ $F(m-1, n-1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(m+n-2)$
$\text{D.}$ $t(m+n)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）。
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\overline{S_1}}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的简单随机样本，
$$
X=a\left(X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2,
$$
则当 $a=$ $\qquad$ ，$b=$ $\qquad$时，统计量 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，其自由度为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 是取自正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，若 $\frac{a\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$服从 $t$ 分布，则 $a=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X \sim N\left(0,0.3^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_{10}\right)$ 是取自 $X$ 的一个样本，求
$$
P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2>1.44\right\}
$$
从方差为 20 和 35 的正态总体分别抽取容量为 8 和 10 的两个样本．试求第一个样本方差大于等于第二个样本方差两倍的概率。
设在总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取一个容量为 16 的样本，求 $P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leqslant 1.664\right\}$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，记统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，则 $E(T)=$
设 $F \sim F(m, n)$ ，证明：$F_{1-\alpha}(m, n)=\frac{1}{F_\alpha(n, m)}$ ．
设总体 $X \sim \chi^2(n), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自 $X$ 的样本，求 $E(\bar{X}), D(\bar{X}), E\left(S^2\right)$ ．
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，从两个总体中分别抽样得：$n_1=8, S_1^2=8.75$ ； $n_2=10, S_2^2=2.66$ ．求概率 $P\left\{\sigma_1^2>\sigma_2^2\right\}$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_m$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是从正态总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 和 总体 $Y \sim$ $N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ 中抽取的两个独立样本． $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别表示 $X$ 和 $Y$ 的样本均值，$S_1^2$ 和 $S_2^2$ 分别表示 $X$ 和$Y$ 的修正的样本方差，$a$ 和 $b$ 是两个非零实数．试求
$$
Z=\frac{a\left(\bar{X}-\mu_1\right)+b\left(\bar{Y}-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{(m-1) S_1^2+(n-1) S_2^2}{m+n-2}} \sqrt{\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}}}
$$
的概率分布．
设在总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取一容量为 16 的样本．这里 $\mu, \sigma^2$ 均为末知．
（1）求 $P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leqslant 2.041\right\}$ ，其中 $S^2$ 为样本方差；
（2）求 $D\left(S^2\right)$ ．